《计算方法与实习》课后习题详解

"东南大学出版社出版的《计算方法与实习》一书的课后习题答案，由孙志忠编写，包含计算方法的相关习题解答。" 本文主要涉及计算方法中的数值分析概念，特别是关于有效数字、舍入误差、相对误差限以及误差传播的计算。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **有效数字**：有效数字是指在数字表示中，从第一个非零数字开始到末尾的所有数字，以及前导零（仅当它们位于小数点前时）。例如，题目中给出了几个数的有效数字数量：x1有5位，x2有6位，x3有4位，x4有6位，x5有2位，x6也有2位。 2. **舍入误差**：在数值计算中，将一个数舍入到特定精度时会产生误差。题目中要求将各数舍入至5位有效数字，如x1舍入为3.2589，x2舍入为3.2590，x3保持不变为4.3820，x4舍入为0.00078925。 3. **相对误差限**：相对误差限是表示近似值与真实值之间的误差占真实值的比例的最大值。对于具有n位有效数字的数x，其形式为x=±(a1+a2×10^(-1)+...+an×10^(-(n-1)))×10^m，证明了相对误差限εr≤(1/2a1)×10^(-(n-1))。例如，x1的相对误差限为1/16×10^(-4)，x2的相对误差限为1/8×10^(-2)。 4. **误差传播**：当两个或多个近似值进行加减乘除运算时，误差会传播。题目中计算了不同操作下的误差限：1) 加法误差限是各个数误差限的和；2) 乘法误差限利用误差的线性组合近似计算；3) 除法误差限利用误差的商规则进行估算。 5. **误差的代数关系**：这里证明了一个误差关系式er-er' = e^2/r(1+er)，这是基于误差的指数表示和误差的代数性质推导得出的。 6. **机器数**：虽然这部分内容略去，但机器数通常指的是计算机内部存储和处理数字的方式，包括符号位和数值位，可能涉及到浮点数表示、溢出和精度问题。 7. **递推公式**：在计算方法中，递推公式用于描述一个序列的项如何通过先前的项来确定。给定的y0=28，后面可能是要求解一个二阶线性常系数递推关系，通常涉及到初值问题的解法，如龙格-库塔方法或欧拉方法。 以上内容展示了计算方法课程中基础的数值分析概念，这些概念在科学计算和工程应用中至关重要，因为它们帮助我们理解和控制计算过程中的精度损失。学习这些知识点有助于提升对数值计算的理解和应用能力。