2011年复变函数与积分变换闭卷考试详解

本次考试主要涉及复变函数与积分变换两个部分，总分为100分，具体题型分布如下： 1. 填空题8题，共计32分，这部分集中在复变函数部分，尤其是复数的基本概念、运算规则以及解析函数的定义和性质。考生需要熟悉复数的不同表示形式，包括一般表示、三角表示和指数表示，并能正确处理复数的四则运算、幂与方根的运算以及单连通域的理解。 2. 解答题7题，共68分，这部分内容更加深入，包括复变函数的图像绘制、解析函数的特性（如C-R方程）、初等函数的表达式、复变函数积分的计算（如柯西-古萨定理、复合闭路定理、柯西积分公式等）。此外，还要求理解原函数和不定积分的关系，以及解析函数与调和函数的相互转化。 在复变函数部分的章节安排上： - 第一章：解析函数为核心，着重于定义和定理一、二的应用，涉及指数函数、对数函数等。 - 第二章：主要考察初等函数的表达式，以及它们在复平面上的表现。 - 第三章：积分是重难点，需掌握复变函数积分的概念，灵活运用各种定理和公式解决实际问题。 - 第四章：关注级数展开，特别是泰勒级数和罗朗级数，需要理解收敛域的求法。 - 第五章：深入研究孤立奇点的分类、留数计算以及特定积分的求解。 积分变换部分的考查内容： - 第一章：主要集中在傅立叶变换上，理解其概念，利用性质和卷积定理求解函数变换，同时要求熟悉一些基础函数的傅立叶变换。 - 第二章：拉普拉斯变换是另一个重点，了解其概念，掌握性质和卷积定理，以及留数定理在拉普拉斯变换中的应用。 考生在准备考试时，不仅需要扎实掌握复变函数的基础理论，还要熟练运用相关定理和方法进行计算和问题求解，同时对于积分变换的性质和应用也不能忽视。复习时应注意理论与实践相结合，多做例题和练习，以提高解题能力。