根轨迹法分析：闭环极点与系统性能

"根轨迹是控制系统分析中的一个重要概念，它由美国工程师W.R.Evans在1948年提出，是一种通过开环传递函数来分析闭环系统性能的方法。根轨迹是闭环特征方程的根在复平面上随着某个参数变化的轨迹，分为常义根轨迹和广义根轨迹。在实际应用中，根轨迹常用于研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，从而评估系统稳定性。" 根轨迹法主要包含以下几个关键知识点： 1. **根轨迹的定义**：根轨迹是指闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在复平面上随开环传递函数中某一参数变化的轨迹。当参数变化范围为[0, ∞)时，对应的主要根轨迹；当参数变化范围为(-∞, 0]时，对应的为辅助根轨迹。两者合并称为全根轨迹。 2. **根轨迹方程**：根轨迹方程是根据开环传递函数建立的，它描述了闭环特征根随参数变化的规律。在给定的开环传递函数G(s)和反馈传递函数H(s)下，闭环传递函数C(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s))，其特征方程为1 + G(s)H(s) = 0。根轨迹就是这个特征方程的根s随参数K变化的轨迹。 3. **绘制根轨迹的基本法则**：绘制根轨迹需要遵循一定的规则，包括起始角、终了角、根轨迹增益条件、分离点、会合点等。这些法则帮助确定根轨迹在复平面上的分布和形状。 4. **广义根轨迹**：广义根轨迹关注的是除特定参数K外的其他系统参数变化时，根轨迹的形态。这在系统设计和调整时非常有用，因为它可以揭示系统对不同参数变化的敏感性。 5. **典型反馈系统的根轨迹分析**：在实际系统中，例如具有比例、积分、微分控制的PID系统，可以通过根轨迹分析来优化控制器参数，确保系统稳定性和性能指标。 6. **实例分析**：例如，一个简单的系统可能有如下的开环和闭环传递函数。当开环传递函数G(s) = K / (s^2 + 2s + K)，闭环特征方程为s^2 + 2s + K = 0。随着K的变化，闭环极点S1和S2会在复平面上移动，形成根轨迹。通过绘制不同K值下的根轨迹，我们可以观察到系统稳定性的变化。 理解根轨迹的概念和绘制方法对于控制系统的设计和分析至关重要，因为它提供了一种直观的方式来预测系统动态行为，并在不直接求解闭环特征方程的情况下评估系统稳定性。通过调整系统参数，设计师可以根据根轨迹图来优化系统的响应特性。