插值与拟合：拉格朗日、牛顿方法与最小二乘法

"本资源主要介绍了插值与拟合中的目标函数，特别是椭圆曲线拟合，涵盖了插值法的基本思想、拉格朗日插值、牛顿插值以及曲线拟合的最小二乘法。此外，还通过两个具体实例展示了如何在MATLAB中进行多项式插值的数值实验。" 在数值分析中，插值与拟合是两种重要的数据处理技术。插值是一种构建多项式函数的方法，使得该函数在给定的一组离散点上精确地通过这些点。拉格朗日插值是其中的经典方法，通过拉格朗日基函数来构建插值多项式，表达式为： \[ p(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x) \] 其中 \( L_i(x) \) 是拉格朗日基函数，由 \( n+1 \) 个插值点定义。然而，拉格朗日插值在计算上可能会变得复杂，特别是在节点数量增加时。 牛顿插值则提供了一种更简便的替代方案，它依赖于差商的概念。差商是函数在两点间的变化率，牛顿插值多项式通过递归地构造差商来构建，这样可以避免拉格朗日插值中的计算问题。牛顿插值公式通常比拉格朗日插值更稳定且易于实现。 曲线拟合则是通过找到一个最能近似数据集的函数来描述数据的趋势。最小二乘法是常用的拟合方法，它寻找一个最佳拟合曲线，使得所有数据点到该曲线的垂直距离平方和最小。这种方法特别适用于高维数据和非线性模型的拟合。 在MATLAB中，可以使用内置的插值和拟合函数来实现这些操作。例如，给定的数据点可以通过` interp1 `函数进行插值，而` polyfit `函数可以用于多项式拟合。这两个函数在提供的例子中得到了应用，分别展示了如何使用MATLAB进行二次和四次牛顿插值多项式的计算，并用这些多项式来近似函数值。 实验中的【例1】演示了如何求解二次牛顿插值多项式并计算未知点的函数值，而【例2】则展示了如何构建四次牛顿插值多项式，并用它来估算特定点的函数近似值。这些实例清晰地解释了如何在实际问题中应用插值和拟合技术。