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R.M. Daniel
等人
/
Journal of King Saud University
所提出的方案被用来保护一个
B2C
模式的电子商务系统。使用自动
化软件工具
ProVerif
验证可达性属性和对应性
论文的其余部分组织如下:第2节简要介绍了圆锥曲线密码学。在第
三节中给出了所提出的签密方案.第4节提供了详细的安全分析。第5节对
该方案的效率进行了评估。第6节探讨了该协议在以下方面的适用性:
显 然 , t32H 和 加 法 运 算 是 可 交 换 的 . 此 外 , 对 于 任 何
P<$t<$2C
p
<$a;b<$;,负元素可以定义为,
P
O-PO;
P
-
t
-
P
t6
等式(4)因此,在本发明中, C
p
a;b; ;P O 形成有限阿贝尔
群,
与
基数
i
ty
j
C
a
;
b
j
<$
p
-
。
一个
人
,
在哪里
,
a
“”
表示Legen,
见第
6.1
节。该协议的安全性对严重的
-
在6.2节中讨论了各种攻击场景。在第6.3节中提供了所提出的电子商务
应用程序的详细数值模拟。第6.4节讨论了ProVerif工具用于方案确认的
适用性。第7节提供了结论性意见。ProVerif代码包含在附录中以供参
考。
2.
圆锥曲线密码
圆锥曲线密码学的概念是由曹(
1998
,
1999
)在张(
1996
)提
出有限域上的圆锥曲线群形成可加阿贝尔群之后提出的由于
群运算的简单性,经典
dre符号因此,8Pt2 C pa; b,jC pa; bjPt PO和k:Pt
意味着重复添加Ptk次(也称为标量乘法
)。
对于
消息
m2
H
=
f
0
g
,
曲线
Pmba-m2a-;y
b
a-m2a上的对应
点
可由消息编码公式xm ba
-
;yba-
m2
a得
到。可以使用等式x
-1
ymmodpm从Pm解码消息。
2.2.
环
Z
n
上的圆锥曲线
设
Zn
表 示 模n 剩 余 类 环 . Z
n
上 的 圆 锥 曲 线表 示 为: 同 余 方 程
Cna;b:y2ax
2
-bxmod n,其中n<$pq,a;b<$2Z
n
且n与a和b互质。设p
和q是大的不同的奇素数,使得,
a a
像RSA这样的密码系统(Chen和Song,2007; Bellini和Murru,
2016)、Diffie-Hellman密钥交换(Zheng Fu,1998)和El-Gamal加
密方案(Zhang等人,2004),以及大量的签名方案(Lin等人,2009;
Lu等人,2005; Shi和Xiong,2013; Song和Chen,2009)。 Dai等人
(2001)证明了圆锥曲线群上的DLP 可以归结为有限域的乘法群上
的DLP。尽管如此,圆锥曲线群仍然作为密码工具被广泛研究,因为它
支持有效的消息编码和解码,以及有效的点运算和逆运算。
2.1.
有限域
F
_p
设
F
ω
p
表示
p
阶
有限域
Fp
的乘法
群
,其中p是奇素数.那么,F
p <
$f 0;
1;. ;1000-1000g
且
F
ω
p
<$
F
P
=
f
0
g
。
仿射平面
A
2
<$
F
P
<$
A
上的
圆锥
曲线
,
记为Cp
<
$a;b<$A,
可以用以下方程表示,
C
p
a
;
b
:
y
2
a
x
2
-
bxmod
p
;
a
;
b
2
F
ω
p
1
很明显,原点O= 0;O = 0,满足等式(1)。(一).将y^xt代入Eq.
(1),对于x
b
¼
x
a
-
t
2
;
a
;
b
2
F
ω
p
2
如果
a-t2
,则从
等式
(
2
)我们
得到,
x
¼b
a
-
t
2
-
1
;
y
¼bt
a
-
t
2
-
1
3
对
任意
t2
Fp
,
使得
t2
- a
,设
P <$t <$p
表示
Cp <$a ; b <$p
上的一点,其坐标为
<$x ; y <$p
,满足式(
1
)
.
(三)、然
后,映射
P
:
H
!
C
p
a
;
b
表示从点集
H
<$
ft2
F
p
;
t
2
- a g [ f O g]到C p a ; b的
双射,其中t - O和O <$ft 0 ; 0
。
1
表示乘法逆。加法运算可以
在曲线
Cpa;
b的
元素上定义,
使用方程:(
4
)和(
5
)。
p 如果n
p
=1,则基数为
jCna;bj可以计算为N
n
<$lcmjCpa;bj;jCqa;bj <$lcm2r;2s 2rs,其中lcm
表示用于计算最小公倍数的函数。因此,给定Pt2C
n
a;b,N
n
Pt<$PO。
关于更多细节,请参考(Biao等人,2009年)。
1. 设e是与N
互
素的随机数.计算d,使得ed 1mod N
n
。对于Pm2Cna;b,
设
PcePm
,
则dPc edP m P m:基于二次曲线的 RSA假设 指出,给
定Pc;e),没有概率多项式时间对手可以计算Pm,使得Pc ePm
,
具
有不可忽略的优势。RSA假设的难解性是以IFP为基础的。
2. 圆锥曲线DLP(CCDLP)指出,给定Pm2Cna;b和Pck:Pm,没有
概率多项式时间对手可以
计算
k
2
Z
ω
N
n
具有不可忽视
的
优势。
3.
一个具有密文认证的
所提出的签密方案使用Z
n
上的圆锥曲线设计,n是一个复合模,难以
分解。所有通信实体决定安全参数k,其确定组元素和密钥的大小例
如,在云环境中,云服务提供商(CSP)选择安全参数以及曲线参数a
和b。这形成
系统公共参数(
PP
)。表
2
描述了系统中使用的符号假设用户
A
是发
送者,用户
B
是发送者。 作为预期的接收者,该协议使用四种算
法来执行:
fPr
A
; Pu
A
g
,
提取
物
B; PPB; fPr
B
; Pu
B
g
,
SigncryptPr
A
; Pu
B
;
M
!
Unsigncrypt
和 UnsigncryptPr
B
; Pu
A
;
Unsigncrypt
!
M.
表
2
系统中使用的符号说明
8P
t
2
C
p
a;b;t
2
H;
PtP
O
P
t
Pt 4
对于
每一
个
P
<$
t
1
<$
;
P
<$
t
2
< $2
C
p <
$
a
;
b
<$
,P <
$
t
1
;
t
2
< $2
H
和
P <$
t
1
;
t
2
<$
第
1
页
第
2
页
第
3
页
第5
页
hash
哈希
函数
安全哈希函数,
hash
:
f
0;
1
g
ω
!
ff
0; 1
g
l
1
;
f
0; 1
g
l
2
g
使用长度为
k
1
的
进行对称加密和解密
11
,例如,
AES
KHk2n
:
使用长度为
l2
的密钥k2
的带
PP
¼ fk
;
a
;
b
公共参数
= {
安全参数,曲线参数
}
fID
A
;
ID
B
g
用户
A
、用户
B
fPr
A
;
Pu
A
g
用户
A
的
{
私钥,公钥
}