上下界约束下网络流不存在的示例及求解策略

在"流量有上下界的网络不存在可行流的例子"的学习资料中，主要探讨的是图论中的网络流问题，特别是容量网络的特性与可行性判断。图论算法理论在这一部分起着关键作用，尤其是在解决复杂网络问题时。容量网络是一种特殊的图，其中每条边都有两个权值：容量上限b(u, v)和流量上限c(u, v)。一个网络流被称为可行流，必须满足以下条件： 1. 弧流量限制条件：任何一条边的流量必须在它的下界b(u, v)和上界c(u, v)之间，即b(u, v) ≤ f(u, v) ≤ c(u, v)，对于网络中的每条边<u, v>都成立。 2. 平衡条件：对于网络中的每一个顶点，流入该顶点的流量总和等于流出该顶点的流量总和，除非它是源点或汇点。即∑vuf(v) - ∑wf(u) = |f|，其中|f|是网络流的总量。 当网络中存在流量有下界的边，如图6.31所示，当某些边能提供的最大流量小于其他边流量之和时，网络可能不存在可行流。例如，图中弧<Vs, V2>的流量上限不足以满足流入顶点V2的流量需求，导致整个网络无法找到满足所有约束条件的流量分配。 解决这类网络流问题的关键在于如何处理流量的下界，通常通过引入辅助变量和调整网络结构来实现。在这个过程中，作者提到的方法是为每个非源点和汇点顶点u设置一个新的变量f1(u, v)，使得流量f(u, v) = b(u, v) + f1(u, v)，这样可以消除下界限制，然后根据平衡条件重新组织方程，找出可能的流。 本书《图论算法理论、实现及应用》深入讲解了图论的基本概念，包括邻接矩阵和邻接表等数据结构，以及一系列与之相关的算法问题，如图的遍历、树与生成树、最短路径、可行遍性、网络流、各种集合问题（如支配集、覆盖集、独立集等）以及图的连通性和着色问题。这些问题在实际应用中广泛涉及，不仅在计算机科学中是基础理论，而且在ACM/ICPC竞赛中也扮演重要角色。 通过本书，读者可以系统地掌握图论算法的理论知识，并通过实例学习如何编程实现这些算法，为解决实际问题和参与竞赛打下坚实基础。同时，图论的应用范围广泛，从自然科学到社会科学，无论是电路设计、社交网络分析还是路由优化，都是其发挥作用的重要领域。