完全正定阵的研究进展：定义、性质与应用

"这篇综述文章探讨了完全正定阵的概念和相关理论，作者徐常青和张修梅总结了该领域的研究进展，包括他们自己的最新成果。文章重点关注双非负矩阵（即所有元素非负且半正定的矩阵）以及它们的因子分解指数。完全正定阵可以表示为两个非负矩阵的乘积，这一性质在组合分析、经济模型和统计学中有广泛应用。文章提到了该问题的历史背景，最早由M.Hall Jr.于1958年提出，后经多位学者的研究，特别是在1980年代与控制理论和经济模型的关联被揭示。T.Ando教授在1991年的文章中对此进行了深入研究和早期结果的梳理。" 完全正定阵是一个在数学，特别是线性代数和优化领域中的重要概念。这类矩阵不仅每个元素非负，而且当它作用于任意非零向量时，都能给出非负的二次型，因此它是半正定的。在本文中，作者讨论了如何将一个非负半正定矩阵表示为两个非负矩阵的乘积，即A=BB'的形式，其中B是非负的。这个表达中的最小列数m被称为矩阵A的因子分解指数，记作φrank(A)。 问题(1)和问题(2)是完全正定阵理论的核心问题。问题(1)询问是否所有非负半正定矩阵都可以通过这种方式分解，而问题(2)则从向量的角度提出了一个等价问题，即非负向量能否通过同构变换保持非负性。 完全正定阵的集合CPn是一个重要的数学结构，它们在多个领域都有应用。例如，在组合分析中，它们用于设计实验和优化问题；在经济模型中，它们可能涉及到非负约束的优化问题；在统计学中，它们可以出现在估计和推断的背景下。 历史上的发展表明，完全正定阵的概念和理论在1960年代被引入，但直到1980年代才开始有实质性的进展。L.J.Gray和D.G.Wilson的工作揭示了它们与控制理论和经济模型的紧密联系，证明了DP"=CP"，这是一项对Maxfield和Mine早期工作的确认。 T.Ando教授在1991年的贡献深化了对完全正定阵的理解，他对早期结果的回顾提供了对该主题全面的视角。他的工作为后续的研究者提供了宝贵的参考资料，进一步推动了这个领域的理论发展和实际应用。