两因素方差分析：计算公式与实例详解

本篇C++笔记记录详细介绍了两因素方差分析中的关键概念和计算公式。在统计学和实验设计中，两因素方差分析（Two-factor analysis of variance，简称ANOVA）用于研究两个或更多独立变量（因素）如何共同影响一个连续响应变量。文章的核心知识点包括： 1. **平方和与自由度**： - **总平方和**（SST）：所有观测值与总体均值之间的差异平方和，代表总变异量，其自由度为dfT = abn-1，其中a是A因素水平数，b是B因素水平数，n是重复观测次数。 - **主效应平方和**（SSA, SSB）：分别表示A和B因素对结果的单独贡献，计算公式分别为 SSA = 1/(bn) ∑xi² - C 和 SSB = 1/(an) ∑xj² - C，自由度为dfA = a-1 和 dfB = b-1。 - **交互作用平方和**（SSAB）：两个因素共同影响的结果变异，计算公式为SSAB = SST - SSA - SSB - SSe，自由度为dfAB = (a-1)(b-1)。 - **误差平方和**（SSE）：除去了主效应和交互作用后的剩余变异，计算公式为 SSE = ∑(xijk - mean)^2 - 1/n ∑(xij - mean)^2，自由度为dfe = ab(n-1)。 2. **均方**（MS）： - **均方主效应**（MSA, MSB）：MSA = SSA/dfA 和 MSB = SSB/dfB，表示每个因素变异的均值。 - **均方交互作用**（MSAB）：MSAB = SSAB/dfAB，衡量的是两个因素交互作用的相对大小。 - **均方误差**（MSe）：MSe = SSE/dfe，反映了随机误差的均方。 3. **矫正数**（C）：用于消除重复观测值带来的偏差，通过C=x²/abn进行调整。 4. **简单效应与交互作用**： - **简单效应**（simple effect）：指一个因素在另一因素的特定水平下对响应变量的影响，是特殊水平组合间的差数。 - **主效应**（main effect）：由于因素水平改变导致的平均数变化，如A因素主效应=492-475=17，B因素主效应=496-471=25。 - **交互作用**（interaction）：一个因素的效果受到另一个因素影响的表现，如A因素的效应在B不同水平下不同，记为A×B。 5. **实例**： 提供了实际例子，如表11-1中的雏鸡增重数据，展示了如何应用这些公式来分析两因素交叉分组试验的数据，计算简单效应、主效应以及交互效应。 这篇C++笔记记录详细介绍了在统计分析中处理两因素实验数据时的关键概念和计算方法，对于理解和应用两因素方差分析至关重要。