批量法参数估计：最小二乘与多步最小二乘在系统辨识中的应用

本文主要探讨了系统辨识与建模中的多步最小二乘方法，这是一种在已知系统结构的情况下，用于估计系统参数的技术。在描述的差分方程模型中，表示了系统的动态行为，其中A()和B()是系统的传递函数矩阵，y(k)是输出，u(k)是输入，w(k)是白噪声。通过变换，模型可以表示为D()y(k)=F()u(k)+w(k)，其中D()和F()是由A()、B()及它们的乘积构成的新矩阵。 最小二乘算法是参数估计的一种批量方法，它用于寻找一组参数使得观测数据的误差平方和最小。在给定的线性回归模型中，模型参数θ包含所有待估计的系数a和b，而φ(k)是包含输入和输出滞后值的向量。通过汇总的观察误差，可以构建一个大的观测数据矩阵Φ和对应的误差向量YN，进而求解参数θ的最小二乘估计。 在多步最小二乘方法的第一步，直接应用最小二乘原则解出D()和F()。在第二步，可以通过建立A()和F()、B()和D()之间的同次幂方程组来进一步优化估计。通过展开方程并按相同幂次匹配，可以得到一个关于F和θ的线性方程组，即F=Hθ，其中θ包含了所有需要估计的参数。 此外，描述中还提到了其他相关方法，如加权最小二乘、噪声方差估计、广义最小二乘、偏倚校正算法、辅助变量法以及相关最小二乘。这些方法都是系统辨识中用于改进参数估计精度或处理特定问题的技术。 加权最小二乘法在存在不同尺度的测量误差或者各观测数据重要性不同时使用，通过赋予每个观测不同的权重来调整误差的影响。噪声方差估计则涉及对噪声特性（如方差）的估计，这对于评估模型的预测性能至关重要。 广义最小二乘适用于当观测数据存在共线性或高相关性时，通过适当的预处理（如正规化）来改善估计的稳定性。偏倚校正算法则是用来修正系统模型中可能存在的系统偏倚，提高模型的准确性。辅助变量法是引入额外信息来增强模型的解释力和预测能力。 相关最小二乘则关注输入和输出变量之间的相关性，它可以在存在相关性时提供更有效的参数估计。 多步最小二乘是系统辨识和建模中的一种重要技术，它结合了最小二乘法和其他相关方法，以准确地估计动态系统的参数，从而构建出能够反映实际系统行为的数学模型。通过这些技术的应用，可以提高模型的精确度和实用性，为控制设计、故障诊断以及系统预测提供有力工具。