机器学习深度学习：张量、矩阵与范数解析

"这是关于机器学习和深度学习基础知识的概述，主要涵盖了数学概念，如标量、向量和张量，以及它们之间的联系。此外，还介绍了矩阵与向量的乘法以及不同范数的计算方法。" 在机器学习和深度学习领域，扎实的数学基础至关重要。本资料首先阐述了标量、向量和张量的基本概念。标量是无方向的数值，如长度，只代表单一的量。向量则包含大小和方向，例如物理中的力，不仅有大小，还有朝向。而张量是更一般的概念，它可以是任意维度的数组，用来描述多维空间中的数据，如图像像素或多元统计数据。 张量与矩阵的关系在于，矩阵是二维张量的特例，可以视为一维向量的扩展。从代数角度看，矩阵是按行列排列的元素集合，而张量则扩展到了更多维度。几何上，矩阵和向量是不变量，不随坐标变换而改变。值得注意的是，尽管张量可以表示为矩阵，但其内涵更为广泛。 矩阵和向量的乘法运算遵循特定规则。当一个m行n列的矩阵与一个n维向量相乘时，结果是一个m维向量。这种乘法涉及每行矩阵元素与向量元素的逐个乘积之和。 向量和矩阵的范数是衡量其大小或强度的概念。对于向量，1范数是所有元素绝对值的和，2范数是元素平方和的平方根，相当于欧几里得距离，负无穷范数是最小绝对值，正无穷范数是最大绝对值。对于矩阵，1范数是所有列向量绝对值和的最大值，2范数是其转置与自身相乘后最大特征值的平方根，无穷范数是所有行向量绝对值和的最大值。 这些基础知识是理解机器学习和深度学习模型，如神经网络中权重矩阵、梯度计算、优化过程以及损失函数等核心概念的基础。掌握这些内容有助于深入探究复杂的机器学习算法和系统，从而进行有效的模型训练和预测。