计算模P下B基下的离散对数：Zoj 1898 Discrete Logging

本资源是一份关于ACM编程竞赛中的数学问题解答文档，涉及了题目"zoj 1898 Discrete Logging"。题目要求解决的是一个离散对数问题：给定一个素数P（2 <= P < 2^31）、整数B（2 <= B < P）和另一个整数N（2 <= N < P），计算N基于B的模P的离散对数。具体来说，就是找到一个整数L，使得B^L ≡ N (mod P)，即求解B在模P意义下的指数方程。 题目中提到了几个关键概念： 1. **Fermat's Theorem**：费马小定理是核心原理，它表明对于任何素数P和一个整数B，满足B^(P-1) ≡ 1 (mod P)。这意味着如果N是B的一个真幂，那么B的逆元（模P）必然存在，离散对数可以被计算出来。 2. **Base-B pseudoprimes**：这些是满足费马小定理但不是素数的特殊整数。它们对除2和P-1之外的其他B值也表现为素数的性质。 3. **Carmichael numbers**：这是一个更稀有的子集，它们对于2到P-1范围内的所有B都是伪素数，因此在这种情况下，离散对数可能不存在或难以确定。 4. **离散对数的求解策略**：对于某些情况，可以利用费马小定理的逆运算，即B^(-m) ≡ B^(P-1-m) (mod P)，来寻找离散对数。但是，对于非Carmichael数和特殊情况，可能需要更复杂的算法，如 Baby-Step Giant-Step 或者 Pollard's rho 方法。 **解题思路**： - 首先，检查给定的P、B和N是否满足费马小定理的条件，即B^(P-1) ≡ 1 (mod P)。 - 如果满足，那么B的阶（最小正整数m使得B^m ≡ 1 (mod P)）会是P-1，此时离散对数L可以通过L = (N-1) % (P-1)得到，因为B^(P-1) * B^L ≡ B^(P-1+L) ≡ B^N ≡ N (mod P)。 - 如果B^(P-1) ≠ 1 (mod P)，或者B是一个Carmichael数，那么可能需要更复杂的算法来求解，比如使用试除法或随机化的方法，寻找一个较小的整数L，使得B^L ≡ N (mod P)。 **示例输入输出**： - 对于第一组数据，521是一个素数，且522满足费马小定理，因此522的离散对数为0。 - 其他示例同样展示了如何根据题目条件找出离散对数，或者在没有解的情况下输出"nosolution"。 **参考代码片段**： 给出的C++代码提示了可能的实现方法，包括使用iostream、cstdio和algorithm库，但实际代码中可能会包含循环、位操作或其他离散对数求解算法的实现。 该资源讲解了离散对数问题在ACM竞赛中的应用，以及如何利用数学原理和特定算法来解决这个问题。理解并掌握费马小定理和离散对数的基本概念是解决此类问题的关键。