L1范数优化：稀疏解与分类问题的高效求解

在本文档中，我们讨论了一个名为`l1_ls`的函数，它是一种针对线性最小二乘问题的优化算法，特别侧重于L1正则化（也称为Lasso回归）。L1范数是最小化目标函数中的绝对值之和，这使得该方法在解决稀疏解问题时非常有效，即寻找解决方案中的非零元素数量尽可能少的问题，这对于信号处理、机器学习等领域中的特征选择和模型解释非常有用。 函数`l1_ls`的核心目标是解决以下形式的优化问题： \[ \min_{x} ||Ax - y||^2 + \lambda \sum_{i=1}^{n}|x_i| \] 其中： - \( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，代表输入数据，其列对应于特征向量。 - \( y \) 是一个长度为 \( m \) 的向量，表示输出结果或目标变量。 - \( \lambda \) 是正的正则化参数，用于平衡数据拟合与模型复杂性的权衡。 - 如果 \( A \) 是矩阵，函数接受两种调用形式，一种只提供 \( A \) 和 \( y \)，另一种提供 \( A \)、\( At \)（\( A \) 的转置）、\( m \)、\( n \) 及 \( y \)。 - 可选参数包括 \( tar_gap \)（相对目标对偶差距，默认为 \( 10^{-3} \)），用于控制求解过程中的收敛标准；以及 \( quiet \)（布尔值，默认为 false），用于控制是否显示输出信息。 - 进一步的高级参数如 \( eta \)（PCG终止条件，默认为 \( 10^{-3} \)）和 \( pcg_max_i \)（最大PCG迭代次数，默认为5000）可用于调整求解过程的精确度和效率。 函数的输出包括： - \( x \): 一个 \( n \) 维向量，作为分类器或模型的系数，具有很高的稀疏性。 - \( status \): 字符串，表示求解状态，'Solved' 表示问题已成功解决。 这个函数适用于在许多机器学习任务中，如回归分析或分类问题，特别是在特征数量远大于样本数量（高维数据）的情况下，通过引入L1正则化来降低过拟合风险，提高模型的泛化能力。通过找到稀疏解，可以揭示数据中最有影响力的关键特征，有助于后续的数据理解和模型解释。