离散控制系统详解：采样定理与数学模型

自动控制原理课件中的离散系统部分深入探讨了离散控制系统的数学模型。在连续信号处理中，信号采样是一个关键步骤，它将连续信号转换为离散信号。采样过程通过将信号在时间轴上等间隔地截取样本点来实现，这通常在计算机控制系统中，如图3.1所示，包括被控对象、反馈装置以及数字化过程。 采样信号的数学描述至关重要，通过采样间隔\( kT \)，我们可以将连续信号\( f(t) \)表示为离散序列，如\( f[kT] = \sum\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - kT) \)。这里，\( \delta(t) \)是Dirac delta函数，表示每个样本点的强度。采样周期\( T_s \)与采样角频率\( \omega_s = \frac{2\pi}{T_s} \)紧密关联。 采样定理指出，为了能准确地复现连续信号，采样频率\( s \omega \)必须大于或等于信号最高频率\( f \omega \)的两倍，即\( s \omega \geq 2f \omega \)。这保证了采样点包含了信号的所有信息，使得从采样信号\( f[kT] \)重构原始信号成为可能。泊松求和公式（式3.5）在此过程中扮演着重要作用，它是将离散系统函数\( F(s) \)与连续系统函数\( F(j\omega) \)之间的关系表达出来的一个工具。 通过拉普拉斯变换，我们进一步分析了离散信号的频域特性，将离散系统的数学模型转换到了频域表示，这有助于理解和设计控制算法。例如，对于采样后的信号\( f[kT] \)，其拉氏变换\( F(s) \)与连续信号的拉氏变换\( F(j\omega) \)之间存在特定的关系，可以利用这些理论进行系统的稳定性分析和控制设计。 这个课件详细介绍了离散控制系统的基础理论，包括信号采样的概念、数学描述、采样定理以及如何运用数学工具（如拉普拉斯变换）来分析和设计基于离散信号的控制策略。这对于理解现代工业控制系统，尤其是数字信号处理和通信系统的设计具有重要意义。