2015秋季线代A卷：秩计算与矩阵变换习题详解

本资源是一份2015年中国海洋大学秋季学期线性代数课程的期末考试试卷A卷，主要考察了线性代数的基础概念和运算技巧。以下是部分知识点的详细解析： 1. 填空题 - 第一题考查行列式的性质和计算。通过计算两个向量的线性组合的行列式，利用向量线性相关性的性质，得出结果是-12。 - 第二题涉及矩阵的特征多项式，通过矩阵与标量的乘法关系和特征值的定义，得到矩阵\(A\)的逆矩阵的表达式。 - 第三题涉及伴随矩阵的概念，利用伴随矩阵与行列式的关系求得矩阵\(A\)的值。 - 第四题探讨向量在不同基下的坐标变换，通过过渡矩阵的计算得出从一个基转换到另一个基后的坐标表达式。 - 第五题分析非齐次线性方程组的通解，首先确定齐次方程组的基础解系，进而得出非齐次方程组的通解形式。 - 第六题考察矩阵的特征值，利用函数\(g(x)\)与特征值的关系，确定给定矩阵\(B\)的特征值。 2. 选择题 - 单项选择题考察矩阵运算的理解： - 题目1涉及到矩阵的加法和单位矩阵的性质，要求找出正确表示矩阵\(AB\)的选项。 - 题目未给出具体选项，但从描述看，可能需要考虑矩阵乘法的结果与单位矩阵的关系，以及矩阵的秩。 - 多项选择题可能涉及更复杂的线性代数概念： - 题目7可能是关于矩阵特征值的性质或应用，例如特征值的性质（如互异性或与相似矩阵的特征值关系）。 - 题目8可能涉及线性变换、特征向量或矩阵运算的性质，可能包括对特征向量和特征值的组合判断。 通过这份试卷，学生可以复习和检验他们在线性代数中的知识，包括矩阵运算、行列式、特征值与特征向量、向量空间理论等核心概念。