平行与循环迭代法解决严格 quasi 非扩张算子多集分式共轭点问题
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更新于2024-07-15
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本文主要探讨了在Hilbert空间中求解严格拟非扩张算子的多集拆分等式公共不动点问题的研究。作者是 Jing Zhao 和 Haili Zong，他们的工作发表于《不等式与应用》期刊（Journal of Inequalities and Applications）的一篇研究论文中，发表时间为2018年，DOI为10.1186/s13660-018-1668-0。该领域的研究关注的是多集问题，即涉及多个集合的固定点问题，这在优化、图像处理和机器学习等领域具有广泛应用。
严格拟非扩张算子是一种在迭代算法中常见的数学工具，它具有一些收敛性保证，但比经典的非扩张算子更广泛，允许一定程度的扩张性。论文的核心贡献是提出了并分析了平行迭代和循环迭代两种算法来解决此类问题。这些算法的关键特点是不需要预先知道算子的范数信息，这是一个重要的优点，因为通常这些信息在实际问题中并不容易获得。
作者通过温和的假设，证明了他们提出的迭代序列在Hilbert空间中的弱收敛性。这意味着，尽管算法可能会随着迭代次数增加而逐渐逼近解决方案，但并不是保证精确收敛，而是朝着不动点集合收敛。弱收敛确保了算法在无限迭代过程中能够找到至少一个共同的不动点，即使不是唯一的，也满足问题的要求。
作为应用，文章还给出了基于这些算法的具体实例，用于解决多集拆分等式问题。这个问题可能涉及多组方程或者约束条件，其结果可以应用于多目标优化、数据融合或者分布式计算中的协调问题。这篇论文不仅提供了理论上的洞察，也为实际问题提供了有效的求解策略，为今后在信息技术领域内的进一步研究奠定了基础。该工作的研究对于推动理论计算机科学和数值分析的发展具有重要意义。
Zhao and Zong Journal of Inequalities and Applications (2018) 2018:83 Page 4 of 18
which can be written as the following minimization problem:
min
x∈C,y∈Q
1
2
Ax – By
2
. (1.15)
Assume that the solution set of the SEP is nonempty. By the optimality conditions,
Moudafi [1] obtained the following fixed-point formulation: (x
∗
,y
∗
)solvestheSEPifand
only if
⎧
⎨
⎩
x
∗
= P
C
(x
∗
– γ A
∗
(Ax
∗
– By
∗
)),
y
∗
= P
Q
(y
∗
+ βB
∗
(Ax
∗
– By
∗
)),
(1.16)
where γ , β > 0. Therefore, for solving the SECP of firmly quasi-nonexpansive operators,
Moudafi [1] introduced the following alternating algorithm:
⎧
⎨
⎩
x
n+1
= U(x
n
– γ
n
A
∗
(Ax
n
– By
n
)),
y
n+1
= T(y
n
+ γ
n
B
∗
(Ax
n+1
– By
n
)),
(1.17)
where a nondecreasing sequence γ
n
∈ (ε,min(
1
λ
A
,
1
λ
B
)–ε), λ
A
, λ
B
stand for the spectral
radius of A
∗
A and B
∗
B,respectively.In[26], Moudafi and Al-Shemas introduced the fol-
lowing simultaneous iterative method:
⎧
⎨
⎩
x
n+1
= U(x
n
– γ
n
A
∗
(Ax
n
– By
n
)),
y
n+1
= T(y
n
+ γ
n
B
∗
(Ax
n
– By
n
)),
(1.18)
where γ
n
∈ (ε,
2
λ
A
+λ
B
– ε), λ
A
, λ
B
stand for the spectral radius of A
∗
A and B
∗
B,respec-
tively. Recently, many iterative algorithms have been developed to solve the SEP, SECFP,
and MSEP. See, for example, [27–34] and the references therein. Note that in algorithms
(1.17)and(1.18), the determination of the step size {γ
n
}depends on the operator (matrix)
norms A and B (or the largest eigenvalues of A
∗
A and B
∗
B). To overcome this short-
age, we introduce parallel and cyclic iterative algorithms with self-adaptive step size to
solve MSECFP (1.1) governed by firmly quasi-nonexpansive operators. We also propose
two mixed iterative algorithms which combine the process of cyclic and parallel iterative
methods and do not need the norms of bounded linear operators. As applications, we
obtain several iterative algorithms to solve MSEP (1.2).
2Preliminaries
2.1 Concepts
Throughout this paper, we always assume that H is a real Hilbert space with the inner
product ·,·andthe norm ·.LetI denotethe identityoperatoron H.Denotethefixed-
point set of an operator T by F(T). We denote by → the strong convergence and by
the weak convergence. We use ω
w
(x
k
)={x : ∃x
k
j
x} to stand for the weak ω-limit set of
{x
k
} and use to stand for the solution set of MSECFP (1.1).
Definition 2.1 An operator T : H →H is said to be
(i) nonexpansive if Tx – Ty≤x –y for all x,y ∈H;
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