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时域缓坡方程的精简数模算法初探
张伟
河海大学交通学院,海洋学院(210098)
E-mail:jarod@hhu.edu.cn
摘 要:缓坡方程被广泛地应用于描述复杂的波的反射与折射。在此研究中,一个新的数模
计算方法被开发用于解决依赖于时间的二阶双曲格式的缓坡方程。此法以精简和明确的有限
差分格式为基础,对时间和空间同样为二阶精度。该计算方法和蛙跳格式有相似的结构,不
同的是,它有在三阶时间标准上的二阶时间引申项。数学模型能够通过正确地预测波能传播
的速度来模拟瞬时的波的运动,这对于实时预报在外海生成的风暴潮的到达时间有着非常重
要的意义。此模型适用于波传入浅滩和在一个缓坡上的椭圆形态暗涌组合波(反射与折射)
实验数据的解析解。
关键词:时间项,波反射,波折射,精简数模算法
1. 引 言
为了通过利用一个统一的模型进行模拟线形波从深水到浅水的传播,缓坡方程可以是一
个不错的选择。由势流理论得出的缓坡方程被广泛地应用于描述在缓慢变化地形上的复合波
的反射和折射
[1]
。时间关联的缓坡方程如下:
0)()()(
22
2
2
=−+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
ησ
ηηη
ggg
cck
y
cc
yx
cc
x
t
(1)
其中:
为自由波面, 为波的相速,
c c
g
为 波的群速, k 为波数,
为角频率,
kcf ==
2
。
方程(1)是具有在时间和空间上的二阶引申项的二阶双曲方程。因为在时间项上的处
理有明显的难度,因此还没有数模方法用来直接解决方程(1)。对于一个简谐波列,用另一
种方法进行研究:将时间项消除。由此得出了下面的稳定状态下的缓坡方程:
0)()(
2
=−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
η
ggg
cck
y
cc
yx
cc
x
(2)
以上的方程是椭圆型态的,而且其数模解法需要进行比较大规模的数据迭代。Berkhoff
曾试图以数学的方法解决,但其方法只局限于一个小的区域。
为了避免反复迭代的数模解法在椭圆方程中出现,一种方法是将原方程化为抛物型。
Dalrymple和Kirby的研究延伸了椭圆近似的有效范围并且在他们的模型中引进了角频谱的概
念
[2]
。Liu总结了椭圆模型和其应用范围的发展情况
[3]
。然而,在其著作中,他提到,方程(2)
和抛物线逼近法只能在稳态波解法中应用,而波浪的瞬时运动并不能被描述。在现实中,这
种波浪的瞬时运动的预测是很重要的。例如,在一组由风形成的波浪中,长波传播较短波快,
因此它们会较早地到达目的地。这种现象只能通过对方程(1)的求解而得到正确的模拟。
第三种将瞬时波特征保留下来的方法是将原始的时域缓坡方程(1)分成一对一阶的双
曲型方程。此项具有代表性的研究是由Copeland进行的。在他的研究中,一个人工潮流项和
一个有限差分项被添加到方程中被用来解方程。
[4]
在本文的研究中,我们将采用一个数模技术来直接解决原始时域的缓坡方程。和以前的
研究相比,此项途径是简单的、直接的、有效的。它能够应用于较大地域瞬时波浪运动的计
算。误差和稳定分析将揭示新方法的特性。
-1-