SMO算法实现与优化：拉格朗日乘子选择策略

"SVM工作集选择策略与SMO算法详解" 支持向量机（SVM）是一种有效的机器学习算法，特别是在二分类问题中表现出色。SMO（Sequential Minimal Optimization）算法是解决SVM优化问题的一种高效方法。本文将详细介绍SMO的工作集选择策略及其背后的数学原理。 在SVM中，拉格朗日乘子用于表示每个样本点对决策边界的贡献，而SMO算法是基于KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件来更新这些乘子的。KKT条件是优化问题的一组必要条件，当问题具有凸性时，这些条件也是充分的。对于SVM的二次规划问题，KKT条件可以表示为： 1) \( y_i(\omega^Tx_i+b) \geq 0 \) 2) \( \alpha_i(y_i(\omega^Tx_i+b)-1)=0 \) 3) \( 0 \leq \alpha_i \leq C \) 其中，\( \alpha_i \) 是拉格朗日乘子，\( y_i \) 是样本点的类别标签，\( \omega \) 是决策边界的法向量，\( b \) 是偏置项，\( C \) 是惩罚参数。 SMO算法的关键在于每次选择一对拉格朗日乘子进行优化，确保目标函数的下降。Platt的方法提供了一种选择工作集的策略。它首先通过KKT条件检查乘子是否满足条件，然后启发式地选择第一和第二个乘子。 选择第一个乘子有两种情况： A. 如果没有乘子违反KKT条件（即所有乘子都在边界上），则在所有乘子中选择。 B. 否则，在\( [0, C] \)范围内选择一个乘子，这是最常见的情况。这样做的原因是，当SMO算法有进展时，边界上的乘子更新后通常仍会保持在边界上，而内部的乘子会发生变化，所以优先考虑内部的乘子可以加速算法的运行。 在选择第二个乘子时，SMO算法的目标是找到一个合适的配对，使得目标函数能够有效地减少。这通常涉及到找到一个最大化目标函数下降的乘子对。 在实际的SMO算法实现中，还会有一些额外的策略来提高效率，比如使用高效的内循环搜索策略，以及避免不必要的计算等。整个过程不断迭代，直到所有乘子都接近满足KKT条件，从而达到全局最优解。 通过引入核函数，SVM可以处理非线性可分问题。核函数\( K(x_i, x_j) \)将数据从原始特征空间映射到高维特征空间，使得在高维空间中的数据变得线性可分。这个映射过程可以不直接计算高维空间的坐标，而是通过核函数计算样本点之间的相似度，大大降低了计算复杂性。 总结起来，SMO算法是通过精心设计的工作集选择策略，结合KKT条件，有效地解决SVM的优化问题。通过迭代更新拉格朗日乘子，最终找到最优的分类超平面，同时最大化分类间隔。这种方法不仅保证了算法的收敛性，而且在实际应用中展现出良好的计算效率。