清华笔记：曲面四边形网格与深度学习在共形几何中的应用

本篇笔记是关于计算共形几何讲义的一部分，着重于代数拓扑在计算机图形学中的应用。主要内容包括： 1. 曲面基本群理论：介绍了基本群的定义，它是描述曲面在同伦等价下的基本数学结构。课程通过讲解如何通过关系词插入和删除操作简化表达，以及计算网格和对偶网格来理解曲面的性质。 2. 覆盖空间理论：这部分深入探讨了万有覆盖空间的概念，它在曲面同伦检测中起着关键作用。Konrad Polthier的曲面四边形网格化算法（QuadCover）即源于此理论，该算法通过构建分支覆盖空间来生成光滑的四边形网格，即使在奇异点如脐点处也能处理。 3. 光滑同伦理论：Thurston提出的理论是解决“神圣网格”问题的基础，涉及到曲面单位切丛的基本群的计算，这对于复杂几何形状的处理至关重要。 4. 计算机图形学应用示例： - 曲面四边形网格化：如顾险峰所阐述的，通过构造分支覆盖空间和标架场的提升，将复杂曲面分解为可处理的四边形网格，这对于计算力学中的表面模拟至关重要。 - 深度学习与曲面结合：当前的研究热点是利用深度学习技术，如神经网络对曲面进行语义分割。这通常涉及将曲面参数化为几何图像，再通过卷积神经网络处理，如图3所示，尽管这种方法存在将边界信息丢失的问题。 这些知识点展示了代数拓扑在现代计算机图形学中的实际应用，尤其是在几何建模、网格生成和数据分析方面的创新方法。理解并掌握这些理论工具，可以帮助开发者设计出更为精确和高效的图形处理算法。