四元数表示与旋转：在惯性导航技术中的应用

"四元数表示转动的公式-随机微分方程及其在金融中的应用" 四元数是一种数学工具，广泛应用于三维空间的旋转表示，特别是在导航、图像处理和计算机图形学等领域。在标题和描述中提到的四元数表示转动的公式，是将四元数用于描述坐标系或矢量相对于某个固定坐标系的旋转状态。 四元数由四个分量组成，通常写作 \( q = w + xi + yj + zk \)，其中 \( w \) 是标量部分，\( x, y, z \) 是虚数部分。在给定的描述中，四元数被表示为 \( q = \cos(\frac{\theta}{2}) + \sin(\frac{\theta}{2})\cos(\alpha)i + \sin(\frac{\theta}{2})\cos(\beta)j + \sin(\frac{\theta}{2})\cos(\gamma)k \)，这里的 \( \theta \) 表示旋转角度，而 \( \alpha, \beta, \gamma \) 是三个欧拉角，对应于绕三个正交轴的旋转顺序。 四元数的乘法规则是非交换的，这使得它们能够方便地表示旋转序列。描述中给出的公式 \( qpp^{-1} = A \) 和 \( q = A^{-1} \) 描述了如何通过四元数乘法来表示旋转矩阵 \( A \)。此外，\( p^{-1}qp = p^{-1}M \) 和 \( q = p^{-1}M \) 是用四元数表示矢量 \( M \) 在旋转 \( p \) 后的新位置，这里的 \( p \) 也是一个四元数，代表了从参考坐标系到当前坐标系的旋转。 在惯性导航系统中，四元数常用于表示姿态信息，即飞行器或其他物体在三维空间中的定向。邓正隆编著的《惯性技术》一书深入探讨了惯性导航系统，包括其工作原理、敏感元件、捷联式导航系统算法以及误差传播特性等。惯性导航系统利用陀螺仪和加速度计测量物体的角速度和线加速度，从而推算出物体的位置、速度和姿态。这种系统在航空、航天、航海和军事领域有着广泛应用。 书中还提到了新型角速度传感器的发展，这些传感器的精度和稳定性对于提高惯性导航系统的性能至关重要。组合式惯性导航系统则是将多种导航技术（如GPS、磁力计、星光传感器等）与惯性导航结合，以提高定位和定向的精度，减少单一技术的误差。 总结起来，四元数在表示旋转和导航中的应用是一个复杂而重要的概念，它结合了数学的优雅和实际工程的实用性。邓正隆的著作深入浅出地解释了这一领域的核心内容，对于学习和理解惯性导航技术提供了宝贵的资源。