矩阵理论A笔记：赵迪教授正规阵解析

"每个上三角正规阵一定是对角阵-《迁移学习:域自适应理论》综述论文" 这篇资源是北京航空航天大学矩阵理论A课程的学习笔记，由赵迪老师授课，张京蕊编辑整理。笔记中提到了一个重要知识点：每个上三角正规阵都是对角阵，这是矩阵理论中的一个引理。正规阵是指满足自身共轭转置的矩阵，即 \( AA^H = A^H A \)。引理表明，如果一个矩阵是上三角形且满足正规性条件，那么它实际上是对角矩阵。 正规阵的一个关键特性是它们可以进行正规分解。正规阵 \( A \) 可以通过一个酉矩阵 \( Q \)（即 \( QQ^H = Q^H Q = I \)）变换为对角阵，即存在 \( Q \) 使得 \( A = QDQ^H \)，其中 \( D \) 是对角矩阵，对角线上的元素是 \( A \) 的特征值。这个过程被称为正规分解，它在求解线性代数问题和理解矩阵性质时非常有用。 引理的证明通常涉及到利用正规性的性质。例如，给定正规阵 \( A \)，可以构造一个酉矩阵 \( Q \) 使得 \( QAQ^H \) 也是正规的。由于 \( A \) 是上三角形，\( QAQ^H \) 也将保持上三角结构。但由于正规阵的乘积仍然是正规阵，根据引理，\( QAQ^H \) 必须是对角阵，因为除了对角线元素外，上三角部分的所有非对角元素在乘以 \( Q \) 和 \( Q^H \) 后都会变为零。因此，\( A \) 必须是对角阵。 矩阵理论A笔记的内容还包括其他矩阵相关的主题，如Jordan标准形、线性变换与矩阵、欧式空间与R分解、常用矩阵分解（如QR分解、SVD等）、范数与级数、广义逆矩阵以及直积拉直及应用等。这些内容是线性代数和矩阵理论的基础，对于理解和应用相关数学工具在工程系统工程、机器学习、信号处理等领域至关重要。 总结起来，这篇笔记强调了正规阵的重要性质，并提供了矩阵理论中的核心概念，特别是关于正规阵及其对角化的过程，这对于深入理解和应用线性代数是十分有价值的。