改进的分裂法求解含多值映象混合变分不等式

本文主要探讨了多值映象的混合变分不等式的分裂法在n维欧几里得空间中的应用，该研究由杨凤在2012年的《云南师范大学学报》发表。混合变分不等式（MVI）是一种涉及非线性优化问题的数学模型，它在数学物理等领域具有重要应用，特别是在处理具有连续可微凸函数非线性约束的问题时，如$f(x) = \max_{i=1,...,m} f_i(x)$的形式。 文章的核心焦点在于引进一类含有多值映象的MVI，并通过改进Konnov提出的辅助问题和辅助原理，扩展了组合松弛法中的分裂法。Konnov的工作已经为这类问题提供了一种前向-后向分裂法，但文章在此基础上进一步发展，构建了一个针对MVI（1）和形式（2）的组合松弛法迭代序列。这种方法的目标是证明所设计的迭代算法的有限性和收敛性，即证明这个序列能够在有限步骤内找到MVI的解。 具体来说，文章首先定义了问题的背景，即在非空闭凸子集$K\subset \mathbb{R}^n$中寻找$x$，存在$g_0\in G(x)$满足不等式$\langle g_0, x-x^* \rangle + f(x) - f(x^*) \geq 0$，其中$f$是真凸且下半连续，而映象$G$将$K$映射到$\mathbb{R}^{2n}$。作者强调了当$f$由连续可微凸函数构成时，这种形式在理论研究中的重要性。 然后，文章回顾了前人工作，如Konnov、Duvaut和Lions、Baiocchi和Capelo等人的贡献，以及Lions和Mercier关于混合变分不等式的处理方法。接下来，文章重点阐述了如何在组合松弛法的框架下发展一种新的分裂策略，旨在增强算法的收敛性能，以求解MVI（1）和（2）。 文章的关键部分是介绍了预备知识，包括集合论和映射概念，以及如何将多值映象分解为单值映射在每个维度上的应用。这为后续的迭代方法提供了数学基础。 这篇论文的主要贡献在于通过改进现有方法，为解决多值映象混合变分不等式提供了一种更有效且有理论支持的迭代算法，这对于理解这类复杂优化问题并寻找其最优解具有重要意义。同时，该工作也为未来的数值分析和优化技术提供了新的研究方向。