高斯过程：运动控制中的数学工具——协方差矩阵与随机变量线性变换

高斯过程是一种在数学和统计学中广泛使用的随机过程，特别是在信号处理、机器学习和控制系统等领域。第六章的内容深入探讨了高斯过程的基本概念和性质。首先，章节开始介绍了一维正态分布的随机变量的协方差矩阵，该矩阵描述了随机变量之间的线性相关性。协方差矩阵的结构对随机变量的概率密度函数有直接影响。通过矩阵的特征变换，我们可以将其转化为一个简单形式，如单位相关矩阵对应的随机变量的概率密度函数，这是计算高斯过程概率分布的基础。 接下来，第1题详细讨论了如何处理具有特定协方差结构的随机变量的联合概率密度函数。通过线性变换，将问题简化为单位相关随机变量的概率密度计算，这有助于理解随机过程中的统计特性。而对于第2题，涉及的是两个正态分布随机变量的线性组合，即U和V，它们作为随机过程中的随机变量，其相关函数和二维概率密度可以通过正态分布的线性变换性质来求解。 随机过程是概率论和统计学的一个扩展概念，它不仅考虑单个随机变量，而是研究一族相互关联的随机变量随时间或空间变化的情况。随机过程通常用映射的方式描述，样本函数反映了随机变量随参数变化的特性。状态空间是随机过程可能的所有状态的集合，这对于理解和预测随机过程的行为至关重要。 以抛掷硬币为例，随机过程{X(t)}定义了在不同时间t下硬币正面朝上的概率，展示了随机过程如何通过时间演变。而例2则引入了一个更为抽象的状态空间概念，可能是通过某个物理系统或数学模型产生的随机过程。 高斯过程是随机过程的一种特殊类型，其理论基础深厚，应用广泛。理解高斯过程的关键在于掌握其概率密度函数、协方差结构以及随机变量之间的线性关系。在实际应用中，如运动控制、预测建模和机器学习中，这些知识都是不可或缺的。