交换代数的结构理论与 Jordan 环

"交换代数（A A ALBERT)——A THEORY OF POWER-ASSOCIATIVE COMMUTATIVE ALGEBRAS BY A A ALBERT" 本文主要探讨了交换代数中的一个特殊分支，即幂关联交换代数。幂关联代数是一类满足幂等性的代数结构，其中元素的任意两个幂次的乘积都是可交换的。作者A.A. Albert对这类代数进行了深入研究，并在论文中特别关注了简单代数的确定。 首先，介绍部分指出，对于线性代数的研究，通常的目标是识别并理解简单的代数结构。Albert近期对由恒等式定义或具有迹函数的幂关联代数进行了若干研究，结果表明，所有交换的简单代数都属于Jordan代数范畴，这一点在初期可能并未预料到。 接着，作者计划揭示这一现象背后的原因，并构建一个包含特征为p的Jordan代数结构理论在内的更广泛的结构理论。这里的前提条件是，所考虑的幂关联交换环（31）的特征是质数，且该环满足2x = a的解的存在性条件，对于环中的任意元素a。 在论文中，Albert展示了如果幂关联交换环31是简单的，并且包含一对正交的幂等元，它们的和不等于环的单位元，那么31就是一个Jordan环。这个结果为后续分析交换幂关联代数提供了一个关键的出发点。 然后，作者将这个结果扩展到了交换幂关联代数（3Ío）的范畴，这暗示了在这些代数结构中，Jordan代数的特性可能是普遍存在的。通过这样的理论构建，可以更好地理解幂关联代数的结构特性，特别是在它们简化为Jordan代数时的行为。 这篇文章不仅提供了对幂关联交换代数基本特性的洞察，还为研究这类代数的结构理论开辟了新的路径，特别是当涉及到简单性和与Jordan代数的关系时。这对于深化我们对交换代数的理解，以及在数学的其他领域如表示论、量子力学和代数几何中的应用，都具有重要意义。