高维Hopf分岔系统简化规范形的直接计算方法

"这篇学术文章由张琪昌、胡兰霞和何学军共同撰写，发表于2005年10月的《天津大学学报》第8卷第01期，主要探讨了高维Hopf分岔系统的最简规范形的计算方法。文章提出了一种无需计算传统规范形，直接计算高维Hopf分岔系统最简规范形的策略，利用中心流形定理简化n维动力系统，并通过Mathematica编程实现计算过程。文中还提供了三个算例以验证方法的正确性和程序的效率。" 在高维Hopf分岔系统的研究中， Hopf分岔是一种重要的动力学现象，它发生在非线性系统中，当参数变化时导致稳定平衡点变为周期解。在数学上，Hopf分岔通常与系统的特征值相关，尤其是当一对共轭复特征值穿越虚轴时发生。传统的Hopf分岔分析通常涉及计算系统的规范形，以确定分岔的性质，如稳定性和周期解的相位。 该文章提出了一种新方法，直接计算高维Hopf分岔系统的最简规范形，避免了繁琐的传统规范形计算。最简规范形是指经过适当的坐标变换后，系统可以被简化成一个标准形式，其中包含了关键的动力学信息，如分岔的方向和稳定性。通过应用中心流形定理，系统可以被降维到一个二维中心流形，在这个流形上，可以进一步化简流的方程，得到仅包含三阶和五阶项的最简规范形。 文章的贡献在于开发了一个Mathematica程序，该程序能够直接从原始的n维动力系统计算出最简规范形。这种方法不仅简化了计算过程，而且提高了计算效率。通过给出的三个实际算例，作者展示了这种方法的有效性，证明了计算程序的正确性和实用性。 关键词中的“近恒同变换”指的是保持系统动态性质不变的坐标变换，这种变换在系统简化和理解复杂动力学行为时非常有用。而“中心流形”是动力系统理论中的一个重要概念，它将高维系统的关键动态行为投影到低维子空间，便于分析。 这篇文章为理解和处理高维Hopf分岔问题提供了一种新的计算工具，对于非线性动力学领域的研究有着积极的贡献。通过最简规范形的直接计算，研究者可以更快速地分析高维系统中的Hopf分岔现象，为控制理论、物理、化学、生物等多个领域的应用提供了理论支持。