东南大学线性代数试题详解：向量组线性相关性与行列式计算

"东南大学线性代数试题解答01-09全详解1" 本文主要涉及线性代数中的几个关键概念，包括向量的乘法、矩阵运算、行列式的计算以及向量组的线性相关性。下面将详细阐述这些知识点。 1. 向量乘法与内积： 在问题1中，提到了向量α = (1, 2)和β = (1, -1)的乘法。向量乘法通常指的是向量的点积（内积），表示为α·β或αTβ，它等于两个向量对应位置元素的乘积之和。根据题目，我们有αβT = α·β = 1×1 + 2×(-1) = -1。另外，(αTβ)999是(αTβ)自乘999次的结果，这里利用了矩阵乘法规律，最终得到一个标量值，即(αTβ)999 = (-1)998 = 1。 2. 矩阵运算与行列式： 问题2中给出了两个矩阵A和B，要求计算|AB-1|，这是矩阵乘法和矩阵求逆的结果。首先，我们分别计算|A|和|B|，其中|A|=-1，|B|=70。根据行列式性质，|AB-1| = |A||B^-1|，由于A和B都是方阵，所以我们可以先求B的逆B^-1，然后计算|AB-1| = (-1) * (1/70) = -1/70。 3. 向量组的线性相关性： 在问题3中，讨论了三个向量α1, α2, α3是否线性相关。向量组线性相关意味着它们可以通过线性组合表示为另一个向量的零向量。为了确定线性相关性，我们通常计算这些向量构成的矩阵的行列式。如果行列式为零，则向量线性相关。这里的行列式为8k，所以当k=0时，向量组α1, α2, α3线性相关。 4. 矩阵的特征值与特征向量： 虽然问题4没有给出完整的信息，但在2×2矩阵A中通常会涉及到特征值和特征向量的概念。对于2×2矩阵A，特征值λ满足det(A - λI) = 0，其中I是单位矩阵。通过解这个特征方程，可以找到矩阵A的特征值，进而求得对应的特征向量。 这份解答涵盖了线性代数中的基础概念，如向量的点积、矩阵的乘法、行列式的计算、逆矩阵的求解以及向量组的线性相关性。这些都是学习线性代数时必须掌握的基本技能。通过深入理解和熟练运用这些知识，可以解决更复杂的问题，如线性系统的求解、特征值分析以及线性变换等。