基于三次样条插值的矿区面积与边界周长计算

在《数值分析》课程设计中，学生被要求计算一个矿区选定区域的面积和边界的周长。这个问题涉及到的是实际应用中的几何图形处理和数值计算技术，特别是利用三次样条插值算法。给定的矿区示意图如图3.1所示，该图显示了矿区边界上的数据点，这些数据用于确定边界位置，x轴代表从西向东的方向，y轴代表从南向北的方向。 首先，对于（1）合理估计选定矿区面积，由于矿区形状不规则，不能直接通过标准公式计算，而是需要将复杂的边界分割成更易于处理的部分。根据表3.1中的数据，每一对x值对应两个y值，意味着我们可以利用这些数据点来构建一个不规则图形的边界。为了简化计算，将图形分为两部分，以x轴为分界线，将第一部分(x, y1)和第二部分(x, y2)分别进行处理。考虑到曲线拟合的复杂性，这里选择三次样条插值作为计算工具，它能够在小范围内近似连续的曲面，有效地估算每个部分的面积。 三次样条插值算法的工作原理是基于多项式函数的局部拟合，通过在给定数据点之间构造一系列三次多项式，这些多项式在每个数据点附近达到最优化，从而形成光滑的插值曲线。学生需要编写Matlab代码，先确定样条函数的节点，然后用这些节点的坐标计算相应的系数，最后通过积分方法得到每个部分的面积。具体步骤可能包括数据预处理、构造样条矩阵、解线性方程组以获取插值系数、计算积分等步骤。 其次，（2）对于选定矿区边界的周长，同样可以采用类似的方法。因为边界是由一系列数据点构成的，可以将每个数据点之间的线段视为边，通过连接这些点形成闭合的轮廓，然后用样条插值或其它数值积分方法来估算各线段长度，最后加总得到整个周长。这个过程中，可能还需要考虑插值误差以及边缘点连接时的曲率影响，以确保周长的准确性。 在整个课程设计中，除了理论知识的应用，还涉及编程实践和问题解决能力的培养，包括对Matlab或其他数值计算工具的熟练运用，以及数据分析和算法实现的技巧。学生需要撰写详细的报告，解释他们的计算过程、误差分析以及最终结果，并接受指导教师钟坚敏的评估。完成此任务有助于学生深化对数值分析的理解，提升计算机辅助数学建模的能力。