离散定常线性系统能达性与能控性研究

"离散定常线性系统能达性与能控性的注记 (1995年)，龚德总，华侨大学工商管理系" 本文主要探讨的是离散定常线性系统的能达性和能控性，这是控制系统理论中的核心概念，对于系统设计和分析具有重要意义。作者龚德总通过这篇论文旨在证明这两种性质的不同定义是等价的，并对相关的判定定理给出更严谨的证明。 离散定常线性系统通常用动态方程表示，如式(1)所示： \[ x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) \] 其中，\( x(k) \)是系统在时间步长 \( k \) 的状态向量，\( A \) 是状态转移矩阵，\( B \) 是输入矩阵，\( u(k) \) 是在时间 \( k \) 的控制输入。 论文中提出了两种不同的能达性和能控性定义： 定义1（基于文献(1)）： - 能达性：如果系统从任意初始状态 \( x(0) \) 可以通过有限次控制输入序列转移到目标状态 \( x_l \)，则称状态 \( x_l \) 是能达的。如果所有状态都能达，系统被认为是完全能达。 - 能控性：如果系统可以从任意初始状态 \( x(0) \) 通过有限次控制输入序列转移到零状态 \( x(0) = 0 \)，则称状态 \( x(0) \) 是能控的。如果所有状态都能控，系统被认为是完全能控。 定义2（基于文献(2)）： - N步能达性：对于任意给定的状态 \( x_l \)，存在一个控制输入序列使得系统在N步后从零状态到达 \( x_l \)。 - N步能控性：对于任意给定的状态 \( x_0 \)，存在一个控制输入序列使得系统在N步后从 \( x_0 \) 返回到零状态。 表面上，定义1中的“完全能达”和“完全能控”与定义2中的“N步能达”和“N步能控”似乎不同。然而，论文的目的是证明这两种定义实际上是等价的，即一个系统根据定义1完全能达/能控，那么它也根据定义2是N步能达/能控，反之亦然。 论文进一步讨论了如何改进能达性和能控性的基本判定定理的证明，这可能涉及更深入的数学分析，包括矩阵理论、线性代数和控制系统理论中的技术。这些改进的证明可能更加简洁明了，或者提供了更直观的理解，有助于后续研究者理解和应用这些概念。 此外，论文还可能涵盖了状态转移矩阵的性质、可控性和可观测性矩阵的构造、Lyapunov函数在证明中的应用，以及如何通过这些性质来设计有效的控制器等问题。这些内容对于理解和设计实际的离散控制系统至关重要。 这篇1995年的论文是对离散定常线性系统能达性和能控性理论的重要贡献，它不仅统一了两种不同的定义，还增强了相关判定定理的证明严谨性，为该领域的研究提供了坚实的基础。