计算机数值方法实验：方程求根与线性方程组解法

"该文档是关于计算机数值方法的本科实验报告，主要涵盖了非线性方程求根和线性方程组直接求解的实验内容。实验中涉及到的方法包括二分法、牛顿法、割线法、迭代法以及Guass消元法、LU分解法和追赶法。实验目的是理解并掌握这些数值计算方法，进行误差分析，并对比不同方法的优劣。" 在计算机数值方法中，求解非线性方程是关键问题之一。实验一介绍了四种求根方法：二分法、牛顿法、割线法和迭代法。二分法基于区间分割，通过不断将包含根的区间减半来逼近根，适用于连续函数。牛顿法是一种迭代法，利用函数的切线来逼近零点，其迭代公式为\( x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n) \)，需要函数的一阶导数。割线法则使用函数在两点间的割线斜率代替切线斜率，简化了牛顿法的计算。迭代法是广义概念，包括以上各种迭代策略，通过不断更新近似根来逼近真实根。 实验中，学生被要求用两种方法求解方程 \( f(x) = x^4 + 2x^2 - x - 4 = 0 \) 在区间 [1, 1.5] 内的一个实根，要求精度满足 \( |x^* - X_n| < 0.5 \times 10^{-5} \)。示例代码使用迭代法，以 \( x^2 = \frac{10}{4 + x_{n-1}} \) 作为迭代公式，直至相邻两次迭代的差的绝对值小于指定精度。 实验二则涉及线性方程组的直接求解，包括Guass消元法、LU分解法和追赶法。Guass消元法通过行变换逐步将系数矩阵化为上三角形或下三角形，然后进行回代求解。LU分解法先将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，再分别解两个三角形系统的线性方程。追赶法则是通过构造一个辅助方程，逐步消除非主元，以求解大型稀疏线性系统。 实验过程中，学生需进行误差分析，比较不同方法在计算效率和精度上的表现。例如，迭代法可能更快但可能需要更多的迭代次数，而直接法如Guass消元法虽然计算量大，但一旦求得系数矩阵的简化形式，后续求解相对直接。此外，对于大型矩阵，LU分解法和追赶法通常更有效，因为它们可以利用矩阵的稀疏结构。 通过这样的实验，学生不仅能深入理解数值方法的基本原理，还能提升编程实现和分析算法性能的能力。讨论和心得部分可能是学生对实验过程中的观察、体验以及对所学方法的个人理解和反思。