线性变换与矩阵表示

"线性代数311" 线性代数是数学的一个核心分支，它在计算机科学、工程、物理等多个领域中有着广泛的应用。线性变换是线性代数中的基本概念，它是一种特殊的函数，能够保持向量加法和标量乘法的性质。 在2.1部分，线性变换的定义被详细阐述。一个线性变换T必须满足以下两个关键性质： 1. 向量加法的保性：对于任何向量v和w，T(v+w) = T(v) + T(w)。 2. 标量乘法的保性：对于任何标量c和向量v，T(cv) = cT(v)。 通过举例来进一步理解这些性质，比如平面平移不构成线性变换，因为它不满足T(0)=0以及比例性质；计算向量长度的变换也不是线性变换，因为它不满足数乘的性质；而向量的逆时针旋转45度或矩阵A作用于向量的变换则都是线性变换，它们都符合线性变换的定义。 2.2部分讲述了线性变换与基向量和坐标的关系。在向量空间中，任何向量都可以表示为基向量的线性组合。当线性变换作用于基向量时，会产生一组新的向量，这组新的向量同样构成一个新的基。线性变换可以由这些基向量的新坐标表示出来，这就引出了线性变换的矩阵表示。 线性变换的矩阵表示是将线性变换与矩阵运算相结合的概念。对于一个线性变换T，如果选择一组基B={b1, b2, ..., bn}，那么每个向量v可以用这些基的坐标表示为v=∑ci bi，相应的，T(v)也可以用基B'={b1', b2', ..., bn'}的坐标表示。矩阵A的元素aij定义为T(bi)在基B'下的第j个分量，这样，变换T就可以写成T(v)=Av的形式。这里的A是一个n×n的矩阵，称为线性变换T关于基B到B'的矩阵。 在给定的例子中，如果T:𝑅3→𝑅2是一个线性变换，并且Av=vT，那么矩阵A就是一个2x3的矩阵，它将三维空间的向量映射到二维空间。这种映射的矩阵表示使得我们可以方便地应用线性代数的矩阵运算来处理线性变换问题。 线性变换是线性代数中一个至关重要的概念，它为我们提供了一种理解和描述向量空间中几何操作的工具。通过对基向量和坐标的理解，我们可以利用矩阵来描述和计算这些变换，从而在各种实际问题中应用线性代数理论。