C2势函数下无界能量级的周期解存在性研究

本文由张世清撰写，标题为《Benci-Gluck-Ziller-Hayashi定理的注记》，主要关注的是C^2类的二阶哈密顿系统中的周期解存在性问题。这些系统的特点是具有非平凡的能量和一个无界的势能井。在已有的Benci-Gluck-Ziller和Hayashi的著名定理基础上，作者引入了约束变分极小化方法来研究这类系统的周期解。这种方法相较于Seifert的几何方法、Rabinowitz的变分理论以及Benci和Gluck-Ziller以及Hayashi采用的复杂几何和代数拓扑技术，提供了一个互补性的研究视角。 Benci在1948年Seifert工作的启发下，以及Rabinowitz在1978和1979年的研究成果，将注意力集中在固定能量下的二阶哈密顿系统动态上（如方程(1.1)所示，其中q是位置变量，V'(q)是势函数的导数，而(1.2)式则给出了系统的总能量）。这些系统的关键特征在于，它们通过约束变分法探讨能量守恒条件下的周期性解的存在性和性质。 张世清的研究工作主要集中在证明以下定理： 定理1.1：假设V属于C^2函数空间，并且满足一定的条件，当系统(1.1)和(1.2)中的势函数V具有无界的下限，即存在一个无界潜在能量井时，那么对于给定的能量h，存在至少一个非平凡的（即不是常数解）周期解。 该论文的核心贡献是扩展了现有理论，尤其是在处理具有复杂势能结构的系统时，通过约束变分方法提供了新的解决方案。作者强调，这个结果是Benci-Gluck-Ziller定理的一个补充，表明了在不同技术和方法的交叉应用中，可以得到更为全面的数学理解。 关键术语包括C^2二阶哈密顿系统、周期解和约束变分极小化方法，这些是研究过程中不可或缺的数学工具。在整个分析过程中，论文遵循的数学分类是34C15（偏微分方程的动力学）、34C25（动力系统与遍历理论）以及58F（泛函分析与变分法），这些都是数值分析和动力系统领域的重要分支。 张世清的工作深入探讨了二阶哈密顿系统中的周期解问题，特别是在非平凡能量和无界势能条件下的解的存在性，其研究方法对相关领域的理论发展具有重要意义。通过这篇首发论文，作者为理解此类系统的动力学行为提供了一种新颖且有效的途径。