郑州大学常微分方程课件-裴利军教授

"常微分方程课件（郑大裴利军）是郑州大学数学与统计学院由裴利军教授主讲的课程，涵盖了常微分方程的基础理论和重要概念，包括一阶和高阶微分方程、线性微分方程组以及定性理论的初步知识。课程旨在让学生掌握各类可解常微分方程的求解方法，理解解的存在性和唯一性，以及初步了解定性理论和偏微分方程。课程设置有4节/周，共计64学时，并以闭卷形式进行期末考试。推荐的参考书籍来自高等教育出版社、人民教育出版社、科学出版社和浙江大学出版社。" 常微分方程是一门研究包含未知函数及其导数的方程的学科，起源于17世纪，是理解和描述自然界现象的关键工具。莱布尼兹是最早提出“微分方程”这一术语的人。历史上，许多著名数学家如Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz和Poincaré等都对微分方程理论做出了重大贡献。 课程内容分为多个章节，包括： 1. 绪论：介绍微分方程的基本概念，如类型判断、高阶常微分方程的一般形式以及解的含义。要求学生能够迅速识别方程类型并理解解的数学意义。 2. 一阶微分方程的初等积分法：探讨一阶微分方程的解法，如分离变量法、积分因子法等。 3. 一阶微分方程的解的存在定理：讨论解的存在性和唯一性定理，这是理解微分方程解的重要基础。 4. 高阶微分方程：研究含有多个未知函数导数的方程，包括常系数和变系数问题。 5. 线性微分方程组：介绍线性方程组的解法，如克拉默法则和齐次与非齐次方程的解法。 6. 定性理论初步：涉及稳定性理论和动力系统，帮助学生理解系统的动态行为。 7. 一阶线性偏微分方程：虽然标记为选修内容，但提供了对偏微分方程基础的初步了解。 常微分方程在物理、工程、生物等多个领域都有广泛应用，课程通过学习不同类型微分方程的求解方法，使学生具备解决实际问题的能力。此外，通过定性理论的学习，学生可以进一步了解如何建模、分析和预测自然现象。课程还推荐了几本教材，如叶彦谦的《常微分方程讲义》和王柔怀、伍卓群的《常微分方程讲义》，供学生深入学习和自我提升。