分数规划与中位数计算

"分数规划与平均数和中位数问题的解决方案" 分数规划是一种优化问题，通常涉及到在有限的整数或有理数集合中找到一个最优化的组合。在这个问题中，我们要解决的是找到一个序列中连续子区间中最大中位数的问题。题目描述了一个长度为n的序列，要求找出所有长度为k的连续子区间，其中位数的最大值。 数据范围通常限制了序列的长度n和子区间长度k，例如在样例中可能有1 <= n <= 10^5 和 1 <= k <= n。解决这类问题的关键在于利用问题的特性来设计算法。 对于"MaxMedian"问题，我们可以采用二分答案的方法。由于中位数随着子区间长度的增加而单调递增，我们可以通过二分查找来确定最大的可能中位数。判断一个区间中位数是否能达到某个值，可以通过比较区间内大于等于目标值的数的数量和小于它的数的数量来实现。如果大于等于目标值的数严格多于k/2个，那么中位数至少是目标值。这可以通过维护前缀和来高效地检查每个子区间。 例如，对于序列[1, 2, 2, 1]和k=2，我们需要找到所有长度为2的子区间，中位数最大是多少。我们可以维护前缀和，然后枚举右端点，找到长度为k的子区间对应的最小前缀和。这样可以将问题转化为判断前缀和是否能覆盖目标中位数。对于长度为k的子区间，其和至少要达到目标中位数，才能确保中位数不低于目标值。这个过程的时间复杂度是O(n log n)，通过优化可以进一步减少到O(n)。 接下来，我们讨论"Average and Median"问题，这是另一个涉及平均数和中位数的题目。我们需要在给定的数组中选择一些元素，使得相邻元素至少选一个，并最大化所选元素的平均数和中位数。对于平均数，我们可以将所有元素减去平均值，然后转化为寻找和不小于0的子集，对于中位数，我们可以将元素标记为大于等于目标值或小于目标值，然后寻找标记总和大于目标值的子集。 同样，我们可以用动态规划来解决这个问题。定义状态dp[i][j]表示到达位置i时，选择j个元素（满足相邻元素至少有一个被选）的最大和。根据题目描述，我们可以通过从前一个位置或前两个位置转移来更新当前状态。最终的答案将是所有位置选或者不选的最大和。 通过这两种问题的分析，我们可以看到分数规划和处理平均数、中位数问题时，需要巧妙地利用数学性质和算法技巧，如二分查找、前缀和和动态规划，来有效地解决问题。理解和掌握这些方法对于解决更复杂的优化问题至关重要。