MATLAB优化工具箱：有约束线性优化入门与linprog详解

"这篇教程介绍了如何使用MATLAB的优化工具箱进行有约束线性优化，特别是linprog函数的使用方法。教程涵盖了基本的线性优化问题、等式约束、不等式约束、变量上下界以及优化参数的设定。此外，还提到了二阶梯度方法，如牛顿-拉夫逊法和Quasi-Newton方法，并简单提及了无约束非线性优化的fminsearch和fminunc函数。" 在MATLAB中，进行有约束线性优化通常涉及使用`linprog`函数。该函数的基本语法是`[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)`。其中： - `f` 是目标函数的系数向量，对应于要最小化的线性函数。 - `A` 和 `b` 定义了不等式约束 `Ax ≤ b`。 - `Aeq` 和 `beq` 分别对应于等式约束 `Aeqx = beq`。 - `lb` 和 `ub` 是变量的下界和上界。 - `x0` 是初始猜测解。 - `options` 是一个结构体，可以设定优化过程中的参数，如显示级别、最大函数评价次数、最大迭代次数和终止容限等。 `linprog` 函数的返回值包括： - `x` 是找到的最优解向量。 - `fval` 是最优解对应的函数值。 - `exitflag` 表示优化过程的退出状态，正值表示成功收敛，负值表示未收敛，零值表示达到最大迭代次数或函数评价次数。 - `output` 结构体包含了优化过程的信息，如迭代次数、使用的算法和函数评价次数。 - `lambda` 包含了解处的拉格朗日乘子，这些乘子提供了关于约束满足程度的信息。 在二阶梯度方法中，Newton-Raphson 方法是一种寻找极值点的迭代方法，它基于函数的导数信息。而Quasi-Newton方法，例如BFGS和DFP方法，使用Hessian矩阵的近似逆来更新迭代方向，这样在计算效率和精度之间找到了平衡。 对于无约束非线性优化，MATLAB 提供了 `fminsearch` 和 `fminunc` 函数。`fminsearch` 适用于低阶但可能不连续的函数，而 `fminunc` 则更适用于连续的非线性问题。它们都用于寻找函数的最小值，但 `fminunc` 支持梯度信息，可能在某些情况下能更快地收敛。 这个入门教程涵盖了优化模型的分类，包括线性、非线性、有约束和无约束问题，以及参数设置和MATLAB帮助系统的使用，为学习者提供了全面的优化问题解决框架。