信息论与编码：从香农信息到信源熵

"信息论语编码课程笔记，涵盖了信道编码、信源编码和香农定义等核心概念。" 本文将深入探讨信息论与编码的基本原理，特别是从统计信息的角度出发，解析信息、信号以及信息传输的过程。首先，香农信息是衡量事物不确定性的度量，它在通信中起到关键作用，通过将消息转化为适于信道传输的信号来实现信息的传递。 信源编码是将原始信息转换为适合信道传输的形式。在这一过程中，离散无记忆信源（DMS）和离散有记忆信源是两种主要的信源模型。DMS具有一维概率分布，其自信息反映了信息量的大小，计算公式为 \( I(a_i) = -\log p(a_i) \)，其中 \( p(a_i) \) 是事件发生的概率，而自信息单位可以是比特（bit）、奈特（nat）或哈特利（hartley）。联合自信息 \( I(xy) \) 和条件自信息 \( I(x|y) \) 分别描述了两个事件共同出现的信息量和已知一个事件的情况下另一个事件的信息量。 离散信源的概率空间由样本空间 \( X \) 和概率函数 \( P(x) \) 定义，其中所有 \( P(x) \) 的和必须等于1。连续信源则由样本空间 \( X \) 和概率密度函数 \( p(x) \) 描述，\( p(x) \) 的积分应为1。连续信源包括时间离散的连续源和随机波形源，后者可以通过采样转化为时间离散的形式。 信息熵是衡量信源不确定性的平均值，用以表示信源输出每个消息的平均信息量。对于离散信源，信息熵 \( H(X) \) 计算公式为 \( H(X) = E(I(a_i)) = -\sum P(a_i) \log P(a_i) \)。信息熵的单位通常为比特/符号、奈特/符号或哈特利/符号。信息熵的值固定于信源，表示了信源的平均不确定性。 联合熵 \( H(XY) \) 是联合自信息的数学期望，而条件熵 \( H(X|Y) \) 描述了在已知 \( Y \) 的情况下 \( X \) 的不确定性，其计算公式为 \( H(X|Y) = E[I(a_i|b_j)] = -\sum \sum P(a_i,b_j) \log P(a_i|b_j) \)。这些概念在分析信源间的相互依赖性以及编码效率时至关重要。 在实际应用中，例如二维平稳信源熵，会涉及到更复杂的概率分布和统计特性。信息论与编码的理论不仅对通信系统的设计有着基础性影响，也在数据压缩、错误检测与纠正等领域发挥着重要作用。通过理解和应用这些基本概念，我们可以构建更高效、更可靠的通信网络。