信号与系统复习：LTI系统、卷积与傅里叶级数解析

"该资源包含了信号与系统的复习题目，涵盖了时域分析中的核心概念，包括LTI系统定义、单位冲激响应、卷积计算、微分方程求解、因果性和稳定性判断，以及傅里叶级数的应用。" 在信号与系统的学习中，时域分析是非常关键的一部分。LTI（线性时不变）系统是指那些对于输入信号的线性组合，其输出也是相同线性组合的系统，并且系统特性不随时间变化。系统可以用微分方程或者差分方程来描述，如连续时间系统的微分方程和离散时间系统的差分方程。单位冲激响应h(t)是系统对单位冲激信号δ(t)的响应，它揭示了系统的动态特性。 卷积是LTI系统中计算输出的关键运算，卷积表达式为y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。例如，给定一个LTI系统的单位冲激响应h(t)，输入x(t)，可以通过计算卷积来得到输出y(t)。同时，有四个重要的卷积公式用于简化计算。 对于形如y'(t) + ay(t) = x(t)的微分方程，可以求解出LTI系统的完全解，其中a是常数。例如，给定初始条件，可以找到满足这些条件的解。 LTI系统的因果性和稳定性是系统分析的重要方面。因果性意味着系统的输出只依赖于当前和过去的输入，不依赖于未来的输入。稳定性则是指系统的输出不会无限增长。通过单位冲激响应h(t)可以判断这两个性质，因果性要求h(t) = 0 对 t < 0，稳定性则要求所有h(t)的积分绝对值有限。 傅里叶级数是周期信号分析的基础，它可以将周期信号分解为一系列复指数信号的叠加。公式为X(k)=1/T * ∫x(t) * e^(-jwt) dt，其中X(k)是第k次谐波的幅度，T是信号的周期。通过傅里叶级数，我们可以分析全波整流器等电路的输出特性，确定其频谱成分。 特征函数是特定类型的信号，当它们作为LTI系统的输入时，输出是相同特征函数但幅度被系统频率响应H(s)或H(z)所改变。例如，正弦波、余弦波和单位阶跃函数都是特征函数。 通过以上知识点的复习，可以深入理解和掌握信号与系统的基本理论和应用，有助于备考或实际问题的解决。