基于Nehari流形的p(x)-拉普拉斯方程三解研究

"一类基于Nehari流形方法的$p(x)$-拉普拉斯方程的三解问题" 这篇论文由刘都超撰写，主要探讨了一类在光滑区域上的$p(x)$-拉普拉斯方程的解的存在性。$p(x)$-拉普拉斯方程是变指数增长条件下的非线性椭圆型方程，它在近年来的变分问题研究中是一个热门话题。此类问题涉及到非标准增长条件，而$p(x)$-增长条件可以视为非标准$(p,q)$-增长条件的一个重要实例。 论文的核心内容是证明在具有非线性边界条件或Dirichlet边界条件的光滑有界域$\Omega \subset \mathbb{R}^n$中，方程 $$- \Delta_{p(x)} u + |u|^{p(x)-2}u = f(x,u)$$ 至少存在三个非平凡解。其中，$\Delta_{p(x)}$是$p(x)$-拉普拉斯算子，$f(x,u)$是依赖于空间变量$x$和解$u$的函数。非线性边界条件可以表述为 $$|\nabla u|^{p(x)-2} \frac{\partial u}{\partial \nu} = g(x,u)$$ 或者采用Dirichlet边界条件，即在域的边界$\partial \Omega$上$u=0$。 作者采用了Nehari流形的方法，这是一种在变分理论中广泛使用的技巧，用于寻找方程的非平凡解。Nehari流形是由满足特定条件的函数构成的子流形，这些条件通常与原方程的变分形式有关。通过分析Nehari流形上的临界点，可以导出方程解的存在性。 关键词包括临界点、$p(x)$-拉普拉斯算子、积分泛函和广义勒贝格-索伯列夫空间。数学分类包括35B38（临界点理论）、35D05（弱解）和35J20（二阶椭圆方程的第二边值问题）。 在引言中，作者提到了许多关于这类问题的研究成果，并引用了相关的文献。他们还指出，对于$p(x)$-拉普拉斯方程的研究，可以参考该领域的综述文章以获取更全面的进展和参考文献。 这篇论文提供了对具有变指数增长条件的非线性椭圆方程解的深刻理解，特别是在使用Nehari流形方法寻找多解方面。这一工作对于进一步研究变分问题和非标准增长条件下的方程具有重要的理论价值和应用潜力。