"线性方程组的迭代法及收敛问题"

第六章是计算方法中讨论迭代法解线性方程组的章节。 在这一章中，首先提到了迭代法的收敛问题。迭代法指的是将线性方程组转化为等价的便于迭代的方程组，并通过不断修正初始值来逼近方程组的解。然而，不同的迭代方法对不同类型的方程组可能会有不同的收敛性，有的方法对某一类方程组收敛，而对另一类方程组发散。因此，一个收敛的迭代方法不仅要求程序设计简单，适于自动计算，还要求能够在较少的计算量下获得满意的解。迭代法在求解线性方程组中，尤其在求解大型稀疏矩阵的线性方程组中，是一种重要的方法。 该章节中介绍了迭代法的基本概念和思想。迭代法的基本思想是通过变换构造出一个等价的方程组，并选定初始向量，不断使用迭代式对该向量进行修正，直到满足精度要求为止。具体地，给定一个非奇异矩阵A和向量b，可以构造出一个等价的方程组Ax=b。通过选定一个初始向量x^(0)，反复使用迭代式x^(k+1)=Gx^(k)+d，不断逼近方程组的精确解。其中，G是一个矩阵，d是一个向量。迭代法的收敛性则取决于矩阵G的特征值。 接下来的部分介绍了雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。雅可比迭代法是一种最简单的迭代法，每次迭代中只考虑方程组的一个分量，计算时使用上一次迭代的解。高斯-赛德尔迭代法在每次迭代中则会使用当前迭代过程中已经计算出来的部分解。而超松弛迭代法是在高斯-赛德尔迭代法基础上进行改进，引入一个松弛因子，提高了迭代的速度。 最后介绍了共轭梯度法。共轭梯度法是一种有效的迭代法，特别适用于对称正定矩阵的线性方程组。它利用了矩阵的特征值和特征向量的性质，通过一系列迭代过程来逼近方程组的解。 总之，第六章讨论了迭代法解线性方程组的基本概念和思想，并介绍了雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法和共轭梯度法等常用的迭代方法。迭代法作为求解线性方程组的一种重要方法，具有程序设计简单、适于自动计算以及较少的计算量就可获得满意解的优点。在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的迭代方法，可以在较短的时间内得到准确的结果。