浙江大学研究生《高等代数》考试试题与解析

"这份资源包含了浙江大学历年研究生入学考试《高等代数》的部分试卷及答案，主要涉及数学领域的高等代数知识，包括多项式理论、线性代数、矩阵论、特征值与特征向量、正定矩阵等内容。" 浙江大学1999年研究生高等代数试题中的第一题讨论了整数多项式的可约性。它指出，一个多项式在有理数域上可约的充分必要条件是它可以表示为一个整数多项式的平方。这涉及到代数基本定理和多项式因式分解的性质。 第二题考察了线性代数中的矩阵运算。给定一个对角矩阵α，题目要求计算α的转置与单位矩阵的差和乘积，这涉及到矩阵的乘法、转置以及对称矩阵的概念。 第三题是关于矩阵秩的证明，指出行满秩矩阵A可以通过可逆阵Q转化为标准形式，并存在矩阵B使得AB等于一个m阶单位矩阵。这揭示了线性代数中矩阵秩的重要性质及其与行简化阶梯形矩阵的关系。 第四题涉及到线性空间和子空间的概念。题目给出了一组线性无关的向量生成的子空间V2和零解空间V1，并证明这两个子空间的直和等于整个空间Pn。这体现了线性代数中空间分解的特性。 第五题讨论了实对称矩阵的正定性和谱定理。因为B是正定的，所以可以找到对角矩阵D和正交矩阵S，使得B经过相似变换可以化为对角矩阵，同时也展示了A与B之间的关系。 第六题则涉及矩阵的特定条件，即矩阵A的元素满足某种规则。这种条件可能会影响矩阵的性质，如行列式、迹、特征值等，是矩阵理论中的一个重要问题。 以上内容展示了高等代数在研究生入学考试中的核心考点，涵盖了多项式理论、线性代数的基本概念、矩阵的运算和性质、线性空间的结构以及正定矩阵的相关知识。这些题目不仅测试了考生的理论理解，还要求他们具备一定的计算和推理能力。通过解答这些题目，学生可以深入理解和掌握高等代数的关键概念，并提高解决实际问题的能力。