2018年离散数学试题解析：逻辑等价、谓词、函数与等价关系

"这份资料是2018年的离散数学试卷，主要涉及逻辑推理、谓词逻辑、等价关系、函数性质以及集合论等相关知识。" 1、逻辑等价句子的理解是离散数学中的基本概念。题目中给出的原句表达了一个条件逻辑关系：如果某个条件（Rob得到车开）成立，则会引发一个结果（带Sue去看电影）。选项（e）使用了逻辑联接词“要么...要么...”，表明了Rob得到车与带Sue看电影这两个事件的互斥性，但并未体现原句的条件关系。选项（f）错误地将结果作为条件，而选项（g）正确地表达了原句的逆否命题，即如果Rob不带Sue看电影，则他得不到车。选项（h）是原句的逆命题，即如果得不到车，则不会带Sue看电影。逻辑上，（g）与原句等价。 2、谓词逻辑的自然语言表述：（a）表示对于所有的整数n，n的平方小于4；（b）表示不存在整数n，使得n的立方等于n；（c）P(n)⇒Q(n)的逆否命题是若n²不小于4，则n³不等于n。 3、这是一道逻辑推理题，涉及到条件逻辑。根据Klumbo收集的事实，可以推断出Adams和Dickens不能同时在洛杉矶，因为（5）和（6）表明他们的行动相互关联。结合其他条件，可以确定Adams和Benjamin要么都去拉斯维加斯，要么都不去，而Carter和Dickens至少有一个人去了拉斯维加斯。由于（2）和（3），如果Carter去了拉斯维加斯，Adams必须留在洛杉矶。因此，唯一可能的情况是Adams和Benjamin都去了拉斯维加斯，Carter留在洛杉矶，而Dickens也留在洛杉矶。所以Klumbo会释放Adams，因为他和Benjamin的行动是一致的，无法单独判断Adams是否犯罪。 4、等价关系的例子：在集合S={1,2,3,4,5}上，可以定义一个等价关系R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}，它将S划分为四个等价类：{1,2},{3},{4},{5}。 5、函数逆像的性质证明：如果f是函数，B1和B2是B的子集，那么f-1(B1∪B2)是所有使f(a)属于B1∪B2的a的集合。根据集合的并集性质，f(a)在B1或B2中，意味着a在f-1(B1)或f-1(B2)中，因此f-1(B1∪B2)是f-1(B1)和f-1(B2)的并集，即f-1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2)。 6、函数f：Z→Z的性质分析：当n大于等于0时，f(n) = n+1，当n小于0且不等于-10时，f(n) = n-1，当n等于-10时，f(n) = n。要判断f是否是一对一和满射，我们需要看其是否满足唯一映射和覆盖整个域的条件。由于f(-10) = -10且f(-9) = -8，所以f不是一对一的，因为它违反了一对一函数的定义。同样，由于没有x使得f(x) = -9或其他负数，f也不是满射。 7、（a）在集合S={1,2,...,2n}中证明存在子集S'，其大小为n，且S'中任意不同元素互不整除。可以构造子集S'={2,4,...,2n}，它包含n个偶数，且任意两个偶数之间互不整除。 以上就是试卷中涉及的主要离散数学知识点，包括逻辑推理、谓词逻辑、等价关系、函数性质、集合论等。