MIT算法导论期末考试答案解析

"这份资源是MIT算法导论课程2005年12月23日的最终考试试题答案，由教授Erik D. Demaine和Charles E. Leiserson提供。试卷包括了关于递归、复杂度分析等算法核心概念的问题，并给出了详尽的解答。" 这篇内容主要涉及的是算法课程中的递归问题及其解决方案，特别是关于递归的渐进上界（大O记法）分析。以下是针对题目中三个递归问题的详细解析： 1. (a) T(n) = 2T(n/8) + ∈n 这是一个典型的主定理（Master Theorem）应用情况。根据主定理的第二案，当a=2, b=8, f(n)=∈n时，由于f(n) = O(n^(log_b a - ε))，其中ε>0，因此递归的解为O(n^(log_8 2) * log n) = O(n^(1/3) * log n)。 2. (b) T(n) = T(n/3) + T(n/4) + 5n 这个递归关系没有直接符合主定理的形式，但可以通过比较子问题的规模和工作量来解决。每个子问题的规模减小为原来的1/3和1/4，而工作量是5n，总和起来比原问题规模减小的幅度更大。因此，这是一个线性时间复杂度的问题，解决方案为O(n)。 3. (c) T(n) = - M 如果 n < M - 2^((n/M)-1) 如果 n >= M 这个递归在n >= M时转化为一个二叉树问题，每个节点有8个子节点，每个子节点的成本是常数O(1)，而根节点的成本是M。当n>M时，树的高度大约是log base 8 (n/M) = log_n(M)/log_n(8)。底部的叶子节点数量大约是n/M，每个叶子节点的成本为M。因此，总成本由叶子节点主导，即O(M * (n/M)) = O(n)。但是，由于n < M的情况，总的时间复杂度为O(n^3/M)，因为当n接近M时，递归的行为更像一个立方级的函数。 总结，这些题目展示了如何分析和解决不同类型的递归问题，包括使用主定理和通过构建递归树来理解复杂度。这些问题和解答对于学习算法的学生来说是非常宝贵的复习材料，有助于深入理解递归和算法分析的核心概念。