卡尔曼滤波算法详解及推导

"该资源详细介绍了卡尔曼滤波算法，包括过程方程和观测方程的定义，以及算法的推导过程，强调了噪声假设和新息过程的性质。" 卡尔曼滤波是一种用于处理随机过程的统计滤波算法，尤其适用于在存在噪声的情况下去除数据中的不确定性。在描述一个离散时间的动态系统时，卡尔曼滤波通过结合状态方程（过程方程）和观测方程来估计系统状态。 1. **过程方程**： 过程方程描述了系统状态如何随时间演变。在这个方程中，`x(n)`是系统在时间n的状态向量，通常不可直接观测。`F(n+1,n)`是状态转移矩阵，它确定了状态从n时刻转移到n+1时刻的方式。而`v(n)`是过程噪声，反映了状态转移过程中引入的不确定性。过程噪声一般假设为零均值的白噪声，其协方差矩阵为`Q(n)`。 \[ x(n+1) = F(n+1,n)x(n) + v(n) \] 2. **观测方程**： 观测方程则描述了如何从观测数据中获取系统状态的信息。`y(n)`是观测向量，`C(n)`是观测矩阵，它将状态向量转换为可观察的形式。观测噪声`v2(n)`同样是零均值的白噪声，其协方差矩阵为`R(n)`。 \[ y(n) = C(n)x(n) + v2(n) \] 3. **噪声假设**： 初始状态`x(0)`、过程噪声`v1(n)`和观测噪声`v2(n)`相互独立，且与噪声向量不相关。这简化了噪声的处理，使得卡尔曼滤波能够更有效地估计状态。 4. **新息过程**： 新息是观测数据`y(n)`与当前预测状态的差异，代表了观测数据带来的新的信息。新息过程定义为： \[ z(n) = y(n) - H(n)\hat{x}(n|n-1) \] 其中，`H(n)`是观测矩阵的转置，`\hat{x}(n|n-1)`是基于所有前一时刻观测的系统状态预测。新息体现了观测数据与预测之间的偏差，是更新滤波器估计的关键。 5. **卡尔曼滤波迭代步骤**： - **预测（Prediction）**：利用过程方程预测下一时刻的状态。 - **更新（Update）**：根据新信息（新息过程）更新状态估计。 卡尔曼滤波算法通过不断迭代预测和更新步骤，能够在存在噪声的情况下提供最优的状态估计。这种算法广泛应用于导航、控制理论、信号处理等多个领域，是处理动态系统估计问题的重要工具。