Euler函数方程ψ(x)=ψ(y)的解构与Schinzel猜想

本文主要探讨的是Euler函数φ(x)在数论中的两个重要猜想，即R.D. Carmichael猜想和A. Schinzel猜想。Carmichael猜想指出，对于每一个正整数x，都存在不等于x的正整数y，使得φ(x) = φ(y)。这个猜想挑战了素数分布的某些特性。作者首先对Carmichael猜想进行了深入研究，提供了方程φ(x) = φ(y)的解的结构分析，并据此设计了一种寻找解的算法。 V.L.Klee的工作对Carmichael猜想进行了部分验证，而C.Pomerance进一步给出了一个反例存在的充分条件，并指出如果Schinzel猜想成立，那么Carmichael猜想的反例将不存在。Schinzel猜想更进一步，提出对于每个偶整数k，方程φ(x + k) = φ(x)应有无穷多解。 文章的核心部分是关于方程φ(x) = φ(y)的解的构造，作者通过分解x和y为最大公约数及其因子的乘积，结合Euler函数的性质，得出φ(x)可以表示为φ(d)的倍数乘以φ(m)和φ(n)，其中d、m和n满足特定的关系。这些结构不仅帮助理解解的分布规律，还被用于设计寻找解的策略。 此外，作者还证明了一个关键的数学命题：如果存在无穷多个素数p，使得2p-1仍然为素数，那么A. Schinzel猜想将成立。这表明素数分布对这两个猜想有着密切的联系。 这篇论文深入剖析了Euler函数的性质，特别是它在解决数论猜想中的作用，提供了寻找Carmichael猜想反例的新方法，并对Schinzel猜想的成立条件进行了有益的探讨。这对于理解和研究素数分布以及数论中的开放问题具有重要意义。