并查集详解与优化：路径压缩技术

"这篇资源主要介绍了并查集（DisjointSet）的概念和应用，通过一个实际问题引出如何计算城市中的最多单位数量。并查集主要用于处理不相交集合的问题，提供合并集合与查找元素所属集合的操作。文章讨论了两种实现方法，包括简单数组标记法和有根树表示法，并对这两种方法的效率进行了分析。" 详细内容: 并查集是一种数据结构，用于管理不相交集合的操作，如查询元素所属集合和合并两个集合。在实际问题中，例如给定某城市中人与人之间的关系，可以利用并查集来找出这些关系形成的最小单位数量。 首先，简单的实现方式是使用一个数组set，其中set[i]表示元素i所在的集合。这种实现方式中，找寻元素x所属的集合只需返回set[x]，而合并两个元素a和b的集合，需要遍历整个数组将b集合的所有元素指向a。这种方法在合并操作时的时间复杂度为Θ(N)，效率较低。 为了提高效率，可以采用有根树的方式表示集合。每个集合是一棵有根树，根节点代表集合本身，其他节点指向其父节点。这样，查找元素x所属的集合（find操作）可以通过沿着父节点链向上查找直到找到根节点。而合并两个元素a和b的集合（merge操作），只需让较小树的根节点指向大树的根节点。初始情况下，每个元素都是自己的根，即set[i]=i。 有根树的实现方式中，find操作平均时间复杂度为Θ(α(N))，其中α是反阿克曼函数，增长极其缓慢，实际上接近常数。然而，最坏情况下，如果每次合并都使树的高度增加1，find操作可能会退化成线性时间。为了解决这个问题，引入了路径压缩优化策略。 路径压缩是在find操作过程中，当沿着父节点链查找时，直接将每个节点指向其最终的集合根节点，从而减少查找路径的长度。这样，即使在最坏情况下，find操作的时间复杂度也能保持在近似常数级别，极大地提高了并查集的操作效率。 总结来说，这篇资源通过实例介绍了并查集的基本思想、两种实现方法以及效率分析。重点讲解了如何通过路径压缩优化避免最坏情况，确保在大多数操作中达到较高的效率。并查集在解决许多问题，如图的连通性判断、最小生成树等算法中发挥着重要作用。