C++数论巩固：模运算、GCD与LCM及逆元详解

本资源是一份关于C++编程中的数论巩固练习文档，涵盖了基础概念和一些关键技能。首先，文档复习了带余数的除法和模的概念，即对一个数a除以另一个数p，结果可以表示为商和余数的形式，且余数（即模）的值域限定在[0, p-1]。文档强调了“随时取模”的性质，即在加、减、乘运算过程中，可以将中间结果对p取模来保持计算的有效性。 接下来，文档引入了最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)的概念，这两个数论基本概念在处理因数分解和整数关系时非常有用。通过实例（如1008和60），展示了如何通过质因数分解以及GCD和LCM的定义来分析数的关系。对于求GCD，文档介绍了欧几里得算法（辗转相除法），这是一种递归算法，其核心递归式为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，并给出了相应的C++实现代码。 此外，文档还提到了数论中的一个重要概念——逆元或倒数在模意义下的意义。常规意义上的倒数在数论中并不适用，特别是在涉及模运算时。如果存在一个数x使得ax=1（模p），则x被称为a在模p下的逆元，它解决了在模运算中遇到除法问题时的计算困境。例如，如果不能直接计算a/b，可以通过寻找逆元来实现模意义下的除法，从而避免整数溢出的问题。 这份文档旨在通过实际练习帮助学习者巩固C++中的数论知识，包括带余数除法、模运算的性质、GCD和LCM的计算方法，以及如何处理模运算中的逆元问题。这些知识点在解决密码学、计算机算法设计以及一些高级编程挑战中都具有重要意义。