线性代数复习：行列式与矩阵详解

"线性代数复习资料涵盖了行列式的定义、性质、展开和算法，以及矩阵的定义、运算和初等变换。" 线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量、线性映射、矩阵以及它们之间的关系。在复习线性代数时，行列式是一个基础且关键的概念。 行列式（Determinant）是用于描述方阵特征的一种量，对于n阶方阵A=(aij)，其行列式记作det(A)。定义如下： det(A) = ∑(i=1 to n) ∑(j=1 to n) (-1)^(i+j) aij 行列式具有以下重要性质： 1. 行列式的值与其转置行列式的值相等，即det(A)=det(AT)。 2. 如果交换两行或两列的位置，行列式的值变为原来的负号，即det(PAP^-1)=-det(A)，其中P是行交换矩阵。 3. 对角线上元素相乘的乘积等于行列式，即det(diag(a1,...,an))=a1...an。 4. 矩阵乘以其逆的行列式值为1，即det(AA^-1)=det(A^-1A)=1。 5. 若A，B是n阶方阵，那么det(AB)=det(A)det(B)。 6. k倍矩阵的行列式等于k的n次幂乘以原矩阵的行列式，即det(kA)=k^n det(A)。 行列式的展开通常通过行或列的元素进行，例如拉普拉斯展开或克拉默法则。常见的特殊类型行列式包括： - 每行（列）和相等的行列式可以通过主对角线元素的和来计算。 - 箭形行列式可以直接根据箭头指向的元素计算。 - 三对角行列式可以简化计算过程。 - 范德蒙行列式常用于解决线性方程组。 - 块上（下）三角行列式可以通过块的行列式求解。 - 升阶法和数学归纳法是证明行列式性质的重要工具。 矩阵（Matrix）是线性代数中的基本对象，由m×n个数按照矩形排列组成。矩阵的运算主要包括加法、减法和标量乘法，以及矩阵乘法。矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。矩阵还可以进行初等变换，如行交换、行乘以标量和行的线性组合，这些变换对应于初等矩阵E(i,j)，E(i(k)，E(i,j(k))。 初等矩阵是对单位矩阵进行一次初等行变换得到的矩阵，它们在矩阵运算中有重要应用。矩阵的逆可以通过初等变换求得，逆矩阵满足AA^-1=I，其中I是单位矩阵。同时，矩阵的伴随矩阵A*也与行列式密切相关，A*的元素是A的元素的余子行列式的代数余子式，且det(AA*)=|A|^2。 以上是线性代数复习中关于行列式和矩阵的基础知识，这些概念在解决线性方程组、研究线性映射和几何变换等方面有着广泛的应用。理解并掌握这些知识点对于深入学习线性代数至关重要。