高维Liouville共形场论：解析与应用

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"更高维的Liouville共形场理论探讨了一种将二维Liouville共形场论拓展至任意偶数维度的数学模型。这个扩展理论的核心是包含了一个与对数相关的标量场，该场的背景电荷被定义为$Q_{\mathcal{Q}}$，并且具有指数形式的Liouville势。这些理论是非统一的，即它们并未统一在单一的对称框架下，但仍然保持了共形不变性，意味着它们对空间几何中的曲率变化特别敏感，特别是那些具有恒定负$Q_{\mathcal{Q}}$曲率的流形。研究者主要关注的是理论的中心特性（$C_T$），它在物理上代表了理论的量子效应。他们发现，尽管理论的细节有所变化，但$C_T$并不依赖于$Q_{\mathcal{Q}}$曲率电荷，而是与高阶导数标量理论的相应参数相匹配。这表明理论在不同维度下的基本性质具有一定的稳定性。另一个核心成果是计算了这些理论的A型Euler共形异常，这是衡量理论在高维空间中对称性破缺的一个重要指标。异常值的计算对于理解理论在非平凡几何背景下的行为至关重要。论文进一步深入研究了这些理论的相关函数，即不同物理量之间的函数关系。作者通过严谨的推导，获得了这些函数的积分表达式，这为理解和预测理论的行为提供了数学工具。其中，最引人注目的是计算了轻型主算子的三维函数，即三维空间中的特定物理量的三点函数。这一结果可以看作是二维DOZZ公式——一个描述二维Liouville共形场论中轻型算子之间相互作用的公式——的高维版本。这篇发表在《Journal of High Energy Physics》（JHEP）上的论文，不仅深化了对二维Liouville共形场论的理解，而且推动了该理论在更高维度的物理应用，尤其是在解析流形的半经典描述以及量子场论中的共形对称性分析方面。通过计算和表达式的精确定义，研究人员揭示了这种理论的内在结构和物理含义，对于进一步探索多维空间中的量子场论现象具有重要意义。"

JHEP06(2018)119

The second object is the Q-curvature Q

[10], that takes in two and four dimensions

the form:

d=2

R, Q

d=4

= −



R + 3R

− R



. (2.2)

The integral of the Q-curvature on a Riemannian manifold M is an invariant of the con-

formal structure, but is not in general a topological invariant. When M is a conformally

ﬂat manifold, the Q-curvature is related to the Euler density E

and:

√

Ω

(d −1)!χ(M) , (2.3)

where χ(M) is the Euler characteristic of M.

2.2 Classical Weyl invariance

Consider the Liouville CFT deﬁned by the action (1.1). Under a Weyl transformation of

the metric g

→ e

2σ

the Liouville ﬁeld φ transforms as:

φ → φ −Qσ , (2.4)

while the GJMS operator P

transforms as:

2σ

= e

−dσ

, (2.5)

and the Q-curvature as:

2σ

= e

−dσ

+ P

σ) . (2.6)

These transformations imply that the action (1.1) is classically Weyl invariant:

(φ − Qσ, e

2σ

g) = S

(φ, g) − S

C.G.

(Qσ, g) , (2.7)

for Q =

. This is the classical value of the background charge, and it will be modiﬁed

by quantum corrections. We denoted previously by S

C.G.

(φ, g) the µ = 0 action (1.1) that

describes a higher-dimensional Coulomb gas theory.

Equation (2.6) can be written as:

σ + Q

= Q

2σ

dσ

. (2.8)

If we take Q

2σ

= Q a real constant then solutions σ to equation (2.8) are answers to the

question: given a manifold M with a metric g

, can we ﬁnd σ such that under a Weyl

transformation g

→ e

2σ

we get a manifold that is conformally equivalent to M and has

a constant Q-curvature. In two dimensions this means that we get a conformally equivalent

surface with a constant scalar curvature. In higher dimensions the Q-curvature does not

determine the curvature tensor, however, the new metric with a constant Q-curvature may

have special properties.

The ﬁeld equations derived from the Liouville action (1.1) for a rescaled Liouville ﬁeld

σ = bφ take the form (2.8) with a negative constant Q-curvature:

σ + Q

= −Ω

(d − 1)!µb

dσ

. (2.9)

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