高阶Schrodinger方程的无条件稳定差分格式研究
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更新于2024-08-11
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"高阶schrodinger方程的恒稳显式与半显式差分格式 (1996年)"
这篇1996年的论文主要探讨了如何利用加耗散项的方法来构建高阶Schrödinger方程的无条件稳定显式和半显式差分格式。Schrödinger方程是量子力学、非线性光学和流体力学等领域中的基本方程,它的高阶形式对于理解复杂系统的行为至关重要。论文中提到的最简单的高阶Schrödinger方程模型形式为:
\[ i \frac{\partial \psi}{\partial t} = (-\Delta + V) \psi \]
其中,\( \psi \) 是波函数,\( -\Delta \) 表示拉普拉斯算子,\( V \) 是势能,通常表示为 \( m \) 阶的算子。
在数值解法中,Euler显式格式因其无条件不稳定性而受限,而Richardson格式虽然条件稳定,但其稳定性条件随着方程阶数增加而变得过于严格。同时,Euler隐式格式虽然无条件稳定,但需要求解耦合的方程组,计算成本较高。因此,寻找无条件稳定的显式或半显式格式成为了一个重要课题。
论文提出了在原方程右侧添加耗散项 \( R \),形成改进后的方程:
\[ i \frac{\partial \psi}{\partial t} = (-\Delta + V) \psi + R \]
通过精心选择耗散项 \( R \) 的参数,作者构造了一套无条件稳定的显式和半显式差分格式,这些格式不仅适用于m=1的标准Schrödinger方程,而且可以扩展到更一般的非线性高阶Schrödinger方程。数值实验验证了这些格式的有效性,但对其在更复杂情况下的应用和稳定性分析,作者表示将在后续工作中进一步探讨。
论文还引用了Miller准则,这是一个用于判断复系数多项式所有根的模是否小于等于1的准则,这对于通过Fourier分析研究差分格式的稳定性至关重要。作者计划采用这种方法对构建的差分格式进行更深入的稳定性分析。
这篇论文在数值方法领域做出了贡献,为解决高阶Schrödinger方程的数值模拟提供了一种新的、无条件稳定的方法,对于理论研究和实际应用都具有重要意义。
2021-06-12 上传
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