高阶Schrodinger方程的无条件稳定差分格式研究

"高阶schrodinger方程的恒稳显式与半显式差分格式 (1996年)" 这篇1996年的论文主要探讨了如何利用加耗散项的方法来构建高阶Schrödinger方程的无条件稳定显式和半显式差分格式。Schrödinger方程是量子力学、非线性光学和流体力学等领域中的基本方程，它的高阶形式对于理解复杂系统的行为至关重要。论文中提到的最简单的高阶Schrödinger方程模型形式为： \[ i \frac{\partial \psi}{\partial t} = (-\Delta + V) \psi \] 其中，\( \psi \) 是波函数，\( -\Delta \) 表示拉普拉斯算子，\( V \) 是势能，通常表示为 \( m \) 阶的算子。 在数值解法中，Euler显式格式因其无条件不稳定性而受限，而Richardson格式虽然条件稳定，但其稳定性条件随着方程阶数增加而变得过于严格。同时，Euler隐式格式虽然无条件稳定，但需要求解耦合的方程组，计算成本较高。因此，寻找无条件稳定的显式或半显式格式成为了一个重要课题。 论文提出了在原方程右侧添加耗散项 \( R \)，形成改进后的方程： \[ i \frac{\partial \psi}{\partial t} = (-\Delta + V) \psi + R \] 通过精心选择耗散项 \( R \) 的参数，作者构造了一套无条件稳定的显式和半显式差分格式，这些格式不仅适用于m=1的标准Schrödinger方程，而且可以扩展到更一般的非线性高阶Schrödinger方程。数值实验验证了这些格式的有效性，但对其在更复杂情况下的应用和稳定性分析，作者表示将在后续工作中进一步探讨。 论文还引用了Miller准则，这是一个用于判断复系数多项式所有根的模是否小于等于1的准则，这对于通过Fourier分析研究差分格式的稳定性至关重要。作者计划采用这种方法对构建的差分格式进行更深入的稳定性分析。 这篇论文在数值方法领域做出了贡献，为解决高阶Schrödinger方程的数值模拟提供了一种新的、无条件稳定的方法，对于理论研究和实际应用都具有重要意义。