非线性SVM中的核函数与优化问题详解

本课件主要介绍了非线性支持向量机（SVM）中的核函数及其在解决非线性分类问题中的关键作用。首先，非线性SVM通过在原始输入空间（X）中引入非线性函数φ()进行特征映射，将数据从低维空间转换到高维特征空间H，使得原本可能线性不可分的数据在新空间中变得线性可分。 问题1的核心是寻找在特征空间H中的最优线性分类器，即一个决策边界，使得分类误差最小化。优化目标是找到权重向量w和偏置b，使得对所有训练样本，分类正确且分类错误的距离最大化。具体表示为： minimize: J(w) = (1/2)w^T w + C * Σ(ξ_i) subject to: g(x_i) = w^T φ(x_i) + b ≥ 1 - ξ_i for all support vectors x_i g(x_i) ≤ 1 + ξ_i for all other samples ξ_i ≥ 0 其中，ξ_i 是松弛变量，C 是正则化参数，用于控制模型复杂度与泛化性能之间的权衡。 接下来，课程讨论了拉格朗日乘子法，通过构建拉格朗日函数L，将原问题转化为求解其对偶问题。对偶问题的目标是最大化间隔函数与约束项的组合，同时保证所有训练样本满足分类条件。对偶问题的形式如下： maximize: L(w, α, β) = Σ(α_i) - (1/2) Σ(α_i * α_j * y_i * y_j * K(x_i, x_j)) subject to: 0 ≤ α_i ≤ C Σ(α_i * y_i) = 0 α_i ≥ 0 for all i 这里的K(x_i, x_j) 是核函数，它提供了数据在特征空间中的内积，避免了实际计算特征空间中的映射，从而简化了问题。常见的核函数有线性核、多项式核和径向基函数（RBF）核等。 最后，定义了核函数后，优化问题2将对偶问题重写为仅依赖于原始数据点和核函数值的形式，如RBF核支持向量机： maximize: (1/2) Σ(α_i * α_j * y_i * y_j * K(x_i, x_j)) - Σ(α_i) subject to: 0 ≤ α_i ≤ C Σ(α_i * y_i) = 0 α_i ≥ 0 for all i 通过求解这个优化问题，我们可以得到最优的核函数参数和分类超平面，从而实现非线性SVM的分类。优化问题2通常可以借助专用的数学软件或工具进行求解，得到的支持向量就是那些直接影响分类结果的关键特征点。 总结来说，本课件深入讲解了核函数在非线性SVM中的核心地位，以及如何通过特征空间的转换和优化问题的对偶化来处理非线性分类任务，强调了支持向量的选择和优化方法在模型构建过程中的重要性。