无约束非线性极小极大问题的ε-算法研究

"该文提出了一种解决无约束非线性极小极大问题的ε-算法，基于极大值函数的次梯度和ε次梯度的特性，构建算法并证明其收敛性。" 在最优化数值计算领域，无约束非线性极小极大问题是一个重要的研究方向。这个问题涉及寻找一个向量x，使得一个由多个函数最大值组成的复合函数达到最小值。通常情况下，这个最大值函数并不具有连续的偏导数，导致问题的复杂性增加。因此，设计高效算法来解决这类问题是优化领域的核心任务。 现有的算法主要分为两类：一类通过转换为非线性规划问题来解决，但这种方法会损失原始问题的无约束特性，可能影响计算效率；另一类则采用光滑逼近方法，保持问题的无约束性质，但选择合适的近似函数较为关键。 本文聚焦于极大值函数的次梯度和ε次梯度的概念，这两种概念在处理极大值函数时尤其重要。次梯度是极大值函数的局部行为的一个描述，而ε次梯度则提供了一种在误差范围内近似次梯度的方法。作者分析了这两者之间的关系，提出了一种新的ε-算法，该算法利用ε次梯度来计算极大值函数，并确保了算法的收敛性。 ε-算法的构造过程包括了对极大值函数的ε次梯度的数值计算方法，这种方法允许在一定的精度ε内逼近次梯度。通过这种方式，算法能够处理那些在某些点不可微的极大值函数，而且，通过理论证明，该算法具有收敛性，这意味着它能逐步接近问题的最优解。 初步的数值实验表明，该ε-算法在实践中是有效的，并且具备大范围收敛的特性，即不论初始点的选择如何，算法都能在较广的范围内找到近似最优解。这种大范围收敛性对于实际应用中的优化问题尤为有价值，因为它降低了对初始点选取的敏感性。 这篇论文贡献了一种新的、适用于解决无约束非线性极小极大问题的ε-算法，它不仅理论基础扎实，而且在实际应用中展现出良好的性能。这种算法的提出，对于优化领域的理论研究和实际应用都具有积极的推动作用，尤其是在那些传统方法难以处理的复杂优化问题上。