机器学习入门：线性回归与梯度下降

"这篇文档主要介绍了机器学习中的回归方法，包括有监督学习的回归与分类，无监督学习的聚类，以及重点讲解了线性回归和梯度下降算法的应用。文中提到了训练样本的数量（m），输入变量（x，特征）和输出变量（y，目标变量），以及模型参数（θi）。" 回归是机器学习中的一种预测方法，它试图建立一个函数关系，让模型能够基于输入变量（x）预测输出变量（y）。回归分为线性和非线性，本篇主要关注线性回归。 线性回归是回归分析中最基础的形式，其假设模型为线性函数，即假设函数（hypothesis）hθ(x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn，其中θ0、θ1、θ2...θn是模型参数，x1、x2...xn是特征。目标是找到一组参数θ，使得模型对训练数据的预测结果与真实值之间的差距最小。 为了实现这一目标，引入了代价函数（Cost Function，也称损失函数），通常使用的是均方误差函数，它的作用是衡量模型预测值与实际值之间的差异。为了最小化代价函数，可以使用梯度下降算法进行优化。梯度下降是一种迭代方法，通过不断调整模型参数θ，使其朝着代价函数减小的方向移动。在每次迭代中，参数更新的公式是a:=b，这里的a通常代表当前参数，b则表示新值，它是当前参数加上学习速率α乘以代价函数关于该参数的梯度。 在实践中，有几种梯度下降的变体，例如批量梯度下降（Batch Gradient Descent），它使用所有训练样本计算梯度，适合大数据集。线性代数中的向量（n*1矩阵）在多元线性回归中扮演重要角色，因为它们可以表示多个特征。 为了提高梯度下降算法的效率，有两个关键技巧：特征缩放和调整学习速率α。特征缩放可以保证各个特征在同一数量级上，避免某些特征过大或过小导致的学习速度不一致；学习速率α决定了每次迭代时参数更新的幅度，选择合适的α能保证算法既不会收敛过慢，也不会震荡不定。 此外，文档还提到了标准方程法，这是一种求解线性回归参数的直接方法，通过对代价函数进行偏微分并置零来获得最优解，这种方法在特定情况下可能比梯度下降更有效率。 回归是机器学习中的重要技术，线性回归因其简单且易于理解和实现，被广泛应用于各种预测问题。梯度下降作为优化工具，是许多机器学习算法的核心，掌握其原理和应用技巧对于提升模型性能至关重要。